广义V－r－Ⅰ型不变凸非光滑多目标规划问题

闫 春 雷

（青岛大学 数学科学学院，山东 青岛266071）

凸性在数学规划中应用广泛.为了减弱对凸性的要求，研究者们给出了几类广义凸函数的定义.Hanson［1］介绍了不变凸函数；Hanson等［2］给出了Ⅰ型与Ⅱ型不变凸函数的概念.文献［3－8］将Ⅰ型不变凸函数推广到可微或不可微多目标规划的情形，取得了一些有意义的结果；Jeyakumar等［9］将不变凸的概念推广到多目标规划情形，给出了V－不变凸的概念；Antczak［10］结合V－不变凸［9］与r－不变凸［11］给出了V－r－不变凸的概念；Antczak［12］将V－r－不变凸推广到局部Lipschitz函数，并在局部Lipschitz函数的V－r－不变凸条件下给出了非光滑多目标规划问题的Karush－Kuhn－Tuker必要与充分最优性条件及Mond－Weir与Wolf型对偶结果；Ahmad等［13］又将V－r－不变凸进行了推广，给出了局部Lipschitz函数广义V－r－不变凸的概念，并在广义V－r－不变凸条件下给出了非光滑多目标规划问题的Karush－Kuhn－Tuker充分最优性条件及 Mond－Weir对偶性.

本文考虑非光滑多目标规划问题，结合V－r－不变凸与Ⅰ型不变凸，通过给出局部Lipschitz函数的广义V－r－Ⅰ型不变凸概念，在广义V－r－Ⅰ型不变凸条件下得到了非光滑多目标规划问题的Fritz－John和Karush－Kuhn－Tuker充分最优性条件，并建立了混合型对偶问题，且在广义V－r－Ⅰ型不变凸条件下给出了弱对偶性与严格逆对偶性.

1 预备知识

对于任意的x＝（x1，x2，…，xn）∈ℝn，y＝（y1，y2，…，yn）∈ℝn，有x＝y⇔xi＝yi（i＝1，2，…，n）；x＜y⇔xi＜yi（i＝1，2，…，n）；x≤y⇔xi≤yi（i＝1，2，…，n）；x≺y⇔x≤y且x≠y.

定义1［14］设集合X⊆ℝn非空，f：X→ℝ是实值函数，x∈X，N为x的邻域，如果存在某个常数K＞0，使得对任意的y，z∈N，有

则称f在x处是局部Lipschitz的.

若不等式（1）对于任意的x∈X都成立，则称f在X上是局部Lipschitz的.

定义2［14］X⊆ℝn为非空开集，函数f：X→ℝ在点x∈X处是局部Lipschitz的，d∈ℝn.若极限

存在，则称此极限为f在x处沿方向d的广义方向导数.

定义3［14］X⊆ℝn为非空开集，函数f：X→ℝ在x∈X的广义次梯度记为

考虑非光滑多目标规划问题（VP）：

定义5［12］设f：X→ℝp为定义在非空开集X⊆ℝn上的局部Lipschitz函数，r为任意实数，如果存在函数η：X×X→ℝn，αi：X×X→ℝ＋＼｛0｝，i∈I，使得对于任意的x∈X，有

则称函数f在u∈X处关于η是V－r－不变凸的.若x≠u时，式（2）不等号严格成立，则称函数f在u∈X处关于η是严格V－r－不变凸的.

下面假设X为ℝn中非空开集，f：X→ℝp，g：X→ℝm为局部Lipschitz函数.函数η：X×X→ℝn，αi：X×X→ℝ＋＼｛0｝，βj：X×X→ℝ＋＼｛0｝，νi：X×X→ℝ＋＼｛0｝，ωj：X×X→ℝ＋＼｛0｝，i∈I，j∈M，r为任意实数.

定义6 如果存在函数η及αi，βj（i∈I，j∈M），使得对任意的x∈X，有：

则称（f，g）在u∈X处关于η 是V－r－Ⅰ型不变凸的.

定义7 如果存在函数η及νi，ωj（i∈I，j∈M），使得对任意的x∈X，有：

则称（f，g）在u∈X 处关于η 是（伪，拟）V－r－Ⅰ型不变凸的.

若当x≠u时，式（7），（9）中第二个不等号严格成立，则称（f，g）在u∈X处关于η是（严伪，拟）V－r－Ⅰ型不变凸的；若当x≠u时，式（8），（10）中第二个不等号严格成立，则称（f，g）在u∈X处关于η是（伪，严拟）V－r－Ⅰ型不变凸的.

定义8 如果存在函数η及νi，ωj（i∈I，j∈M），使得对任意的x∈X，有：

则称（f，g）在u∈X 处关于η 是（拟，伪）V－r－Ⅰ型不变凸的.

若当x≠u时，式（12），（14）中第二个不等号严格成立，则称（f，g）在u∈X处关于η是（拟，严伪）V－r－Ⅰ型不变凸的；若当x≠u时，式（11），（13）中第二个不等号严格成立，则称（f，g）在u∈X 处关于η 是（严拟，伪）V－r－Ⅰ型不变凸的.

2 最优性条件

且下列条件之一成立：

由条件1）得

又由条件1）得

式（16）＋式（17）得

根据次微分的运算性质［14］，得

2）的证明类似1）.由条件2），式（16）中＜0换为≤0，式（17）中≤0换为＜0，仍可得到式（18），结论成立.

由条件1）或条件2）均能得式（16）成立.其余证明与定理1类似.

3 混合型对偶

考虑（VP）的对偶问题（VD）：

定理3（弱对偶）设x，（y，μ，λ）分别为（VP）和（VD）的可行解，如果下列条件之一成立：

又因为

由条件1）及次微分的运算性质［14］，得

因为（y，μ，λ）为（VD）的可行解，有－λjgj（y）≤0，j∈J2.从而

由条件1）及次微分的运算性质［14］，得

式（21）＋式（23）得

2）的证明类似1）.

定理4（弱对偶）设x，（y，μ，λ）分别为（VP）和（VD）的可行解，如果下列条件之一成立：

由条件1）及次微分的运算性质［14］知式（21）成立.其余证明与定理3类似.

与式（20）矛盾.

2）的证明类似1）.

［1］Hanson M A.On Sufficiency of the Kuhn－Tucker Conditions ［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1981，80（2）：545－550.

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