极限的几种计算方法的注记

2014-11-10 00:40姜全德
科技创新导报 2014年22期
关键词:极限计算方法

姜全德

摘 要:极限的计算是高等数学教学的重要内容之一,该文就若干种常用的求极限的问题进行分析,针对不同题型,采用不同方法,并总结归纳了应用每种求极限方法应注意的要点。

关键词:极限 计算 方法

中图分类号:O211 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2014)08(a)-0227-01

1 运用极限的定义证明极限的值(用定义,找到N)

在利用数列极限定义证明为数列的极限时,重要的是对,要能够指出定义中所说的这种正整数确实存在,但没有必要去求最小的,故在解决具体问题时,可用放大方法。

2 运用极限的四则运算求极限

极限的四则运算只适用于每个式子极限存在且分母极限不为0的情况,且只限于“有限个”,“有限个”很关键;若无限个,四则运算不再适用。

3 约去零因子

例如我们考虑到时函数的变化趋势,在这一变化过程中但,因此我们可以先约去分子分母极限为零的公因式,一般“”的未定式,我们首先考虑约去零因子。

4 分子分母同除以变量最高次幂

此种方法适用于变量趋于无穷,且分子分母是变量的幂函数的分式,首先考虑分子分母同除以变量的最高次幂的方法。

5 应用两个重要极限求极限

应用两个重要极限解题时要注意两公式特点,一定构造出公式的形式后方可应用。

公式的特点:(1)中部分要相同;(2)。

公式的特点:(1)中部分要相同;(2)。

6 用等价无穷小代换求极限

应用等价无穷小代换,需要注意的是,等价无穷小代换只适用与积与商,且只能代换乘积或商式中分子或分母的某个因式而不能代替其中加、减式的某一项。

7 利用无穷小量的性质求极限

当应用“有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量”的性质时,一定有一个函数极限是0即是无穷小量。

8 运用无穷小与无穷大关系求极限

应用无穷大与无穷小互为倒数关系,可以求极限。

9 用迫敛性求极限

应用迫敛性求极限时,找到的一个比其大的函数和一个比其小的函数,这两个函数的极限值要存在且相等。

10 利用单调有界定理求极限

利用单调有界定理证明时,应注意放缩方向,单调递增函数需有上界则极限存在;单调递减函数需有下界,则极限存在。

11 函数连续性求极限

注意:当函数连续时,极限符号与函数符号可交换顺序。

12 运用洛必达法则求极限

有些题目可以直接应用洛必达法则求解,有些题目可以转化为洛必达法则求解,例如:

(1)对于,型极限,可将乘积化为除式,即化为型或型未定式计算。

(2)对于型的未定式,可先将其化为以为底的指数函数的极限,再利用指数函数的连续性,化为直接求指数的极限。

13 利用Taylor公式求极限

应用Taylor公式求极限时,注意余项的阶数的选取。

14 数列极限转换为函数极限求解

由于数列不具有函数的比较好的解析性质,比如连续性、可积性、可导性,所以可先求数列对应函数的极限,再代入特值得到数列极限。此方法在求级数的部分和极限时应用很广。

15 利用定积分定义求极限

应用定积分定义求极限,适用于n项和极限,但要注意以下两点。

(1)当题目能凑成的形式时,用定积分的定义把极限转化为定积分来计算。

(2)当n项和极限,不能凑成定积分的定义的极限和形式时,利用两边夹法则求极限。

16 利用级数收敛的必要条件

若收敛,则,这一结论可证明数列的极限趋于零。

17 运用Stolze定理求极限

Stolz公式:,值得注意的是当时,特别有效。

18 结语

总之,极限的计算方法很多,也比较灵活,总的原则是:充分利用所求极限的特点,利用极限的运算性质及上述常用方法,有时需综合运用以上方法可以更简便求出极限的值,是复杂的问题简单化。有时一个极限也可用多种方法求解。

参考文献

[1] 徐森林,薛春华.数学分析[M].清华大学出版社,2012.

[2] 同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社,2007.

[3] 迟彦惠.微积分[M].华南理工大学出版社,2009.endprint

摘 要:极限的计算是高等数学教学的重要内容之一,该文就若干种常用的求极限的问题进行分析,针对不同题型,采用不同方法,并总结归纳了应用每种求极限方法应注意的要点。

关键词:极限 计算 方法

中图分类号:O211 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2014)08(a)-0227-01

1 运用极限的定义证明极限的值(用定义,找到N)

在利用数列极限定义证明为数列的极限时,重要的是对,要能够指出定义中所说的这种正整数确实存在,但没有必要去求最小的,故在解决具体问题时,可用放大方法。

2 运用极限的四则运算求极限

极限的四则运算只适用于每个式子极限存在且分母极限不为0的情况,且只限于“有限个”,“有限个”很关键;若无限个,四则运算不再适用。

3 约去零因子

例如我们考虑到时函数的变化趋势,在这一变化过程中但,因此我们可以先约去分子分母极限为零的公因式,一般“”的未定式,我们首先考虑约去零因子。

4 分子分母同除以变量最高次幂

此种方法适用于变量趋于无穷,且分子分母是变量的幂函数的分式,首先考虑分子分母同除以变量的最高次幂的方法。

5 应用两个重要极限求极限

应用两个重要极限解题时要注意两公式特点,一定构造出公式的形式后方可应用。

公式的特点:(1)中部分要相同;(2)。

公式的特点:(1)中部分要相同;(2)。

6 用等价无穷小代换求极限

应用等价无穷小代换,需要注意的是,等价无穷小代换只适用与积与商,且只能代换乘积或商式中分子或分母的某个因式而不能代替其中加、减式的某一项。

7 利用无穷小量的性质求极限

当应用“有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量”的性质时,一定有一个函数极限是0即是无穷小量。

8 运用无穷小与无穷大关系求极限

应用无穷大与无穷小互为倒数关系,可以求极限。

9 用迫敛性求极限

应用迫敛性求极限时,找到的一个比其大的函数和一个比其小的函数,这两个函数的极限值要存在且相等。

10 利用单调有界定理求极限

利用单调有界定理证明时,应注意放缩方向,单调递增函数需有上界则极限存在;单调递减函数需有下界,则极限存在。

11 函数连续性求极限

注意:当函数连续时,极限符号与函数符号可交换顺序。

12 运用洛必达法则求极限

有些题目可以直接应用洛必达法则求解,有些题目可以转化为洛必达法则求解,例如:

(1)对于,型极限,可将乘积化为除式,即化为型或型未定式计算。

(2)对于型的未定式,可先将其化为以为底的指数函数的极限,再利用指数函数的连续性,化为直接求指数的极限。

13 利用Taylor公式求极限

应用Taylor公式求极限时,注意余项的阶数的选取。

14 数列极限转换为函数极限求解

由于数列不具有函数的比较好的解析性质,比如连续性、可积性、可导性,所以可先求数列对应函数的极限,再代入特值得到数列极限。此方法在求级数的部分和极限时应用很广。

15 利用定积分定义求极限

应用定积分定义求极限,适用于n项和极限,但要注意以下两点。

(1)当题目能凑成的形式时,用定积分的定义把极限转化为定积分来计算。

(2)当n项和极限,不能凑成定积分的定义的极限和形式时,利用两边夹法则求极限。

16 利用级数收敛的必要条件

若收敛,则,这一结论可证明数列的极限趋于零。

17 运用Stolze定理求极限

Stolz公式:,值得注意的是当时,特别有效。

18 结语

总之,极限的计算方法很多,也比较灵活,总的原则是:充分利用所求极限的特点,利用极限的运算性质及上述常用方法,有时需综合运用以上方法可以更简便求出极限的值,是复杂的问题简单化。有时一个极限也可用多种方法求解。

参考文献

[1] 徐森林,薛春华.数学分析[M].清华大学出版社,2012.

[2] 同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社,2007.

[3] 迟彦惠.微积分[M].华南理工大学出版社,2009.endprint

摘 要:极限的计算是高等数学教学的重要内容之一,该文就若干种常用的求极限的问题进行分析,针对不同题型,采用不同方法,并总结归纳了应用每种求极限方法应注意的要点。

关键词:极限 计算 方法

中图分类号:O211 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2014)08(a)-0227-01

1 运用极限的定义证明极限的值(用定义,找到N)

在利用数列极限定义证明为数列的极限时,重要的是对,要能够指出定义中所说的这种正整数确实存在,但没有必要去求最小的,故在解决具体问题时,可用放大方法。

2 运用极限的四则运算求极限

极限的四则运算只适用于每个式子极限存在且分母极限不为0的情况,且只限于“有限个”,“有限个”很关键;若无限个,四则运算不再适用。

3 约去零因子

例如我们考虑到时函数的变化趋势,在这一变化过程中但,因此我们可以先约去分子分母极限为零的公因式,一般“”的未定式,我们首先考虑约去零因子。

4 分子分母同除以变量最高次幂

此种方法适用于变量趋于无穷,且分子分母是变量的幂函数的分式,首先考虑分子分母同除以变量的最高次幂的方法。

5 应用两个重要极限求极限

应用两个重要极限解题时要注意两公式特点,一定构造出公式的形式后方可应用。

公式的特点:(1)中部分要相同;(2)。

公式的特点:(1)中部分要相同;(2)。

6 用等价无穷小代换求极限

应用等价无穷小代换,需要注意的是,等价无穷小代换只适用与积与商,且只能代换乘积或商式中分子或分母的某个因式而不能代替其中加、减式的某一项。

7 利用无穷小量的性质求极限

当应用“有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量”的性质时,一定有一个函数极限是0即是无穷小量。

8 运用无穷小与无穷大关系求极限

应用无穷大与无穷小互为倒数关系,可以求极限。

9 用迫敛性求极限

应用迫敛性求极限时,找到的一个比其大的函数和一个比其小的函数,这两个函数的极限值要存在且相等。

10 利用单调有界定理求极限

利用单调有界定理证明时,应注意放缩方向,单调递增函数需有上界则极限存在;单调递减函数需有下界,则极限存在。

11 函数连续性求极限

注意:当函数连续时,极限符号与函数符号可交换顺序。

12 运用洛必达法则求极限

有些题目可以直接应用洛必达法则求解,有些题目可以转化为洛必达法则求解,例如:

(1)对于,型极限,可将乘积化为除式,即化为型或型未定式计算。

(2)对于型的未定式,可先将其化为以为底的指数函数的极限,再利用指数函数的连续性,化为直接求指数的极限。

13 利用Taylor公式求极限

应用Taylor公式求极限时,注意余项的阶数的选取。

14 数列极限转换为函数极限求解

由于数列不具有函数的比较好的解析性质,比如连续性、可积性、可导性,所以可先求数列对应函数的极限,再代入特值得到数列极限。此方法在求级数的部分和极限时应用很广。

15 利用定积分定义求极限

应用定积分定义求极限,适用于n项和极限,但要注意以下两点。

(1)当题目能凑成的形式时,用定积分的定义把极限转化为定积分来计算。

(2)当n项和极限,不能凑成定积分的定义的极限和形式时,利用两边夹法则求极限。

16 利用级数收敛的必要条件

若收敛,则,这一结论可证明数列的极限趋于零。

17 运用Stolze定理求极限

Stolz公式:,值得注意的是当时,特别有效。

18 结语

总之,极限的计算方法很多,也比较灵活,总的原则是:充分利用所求极限的特点,利用极限的运算性质及上述常用方法,有时需综合运用以上方法可以更简便求出极限的值,是复杂的问题简单化。有时一个极限也可用多种方法求解。

参考文献

[1] 徐森林,薛春华.数学分析[M].清华大学出版社,2012.

[2] 同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社,2007.

[3] 迟彦惠.微积分[M].华南理工大学出版社,2009.endprint

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