曲线过定点问题解题策略

近几年，高考试卷中圆锥曲线压轴题经常出现曲线过定点问题，由于在解题之前不知道所过的定点，因而对解题增添了一定的难度，怎样破解曲线过定点问题？下面通过具体的例子，介绍此类问题的求解策略.1 直线过定点问题

1.1 特殊探路，一般证明

例1 已知椭圆C的离心率e=32，长轴的左、右端点分别为A1（-2，0），A2（2，0）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

解析 （1）椭圆C的方程为x24+y2=1.

（2）由题意可设直线l的方程为：x=my+1.

①取m=0得P（1，32），Q（1，-32），直线A1P的方程为y=36x+33；直线A2Q的方程为y=32x-3，交点坐标为S1（4，3）.P（1，-32），Q（1，32），由对称性可知交点坐标S2（4，3）.若点S在同一条直线上，则直线只能是x=4.

②以下证明对任意m，直线A1P与直线A2Q的交点S均在x=4上，事实上

由x24+y2=1，

x=my+1， 得（my+1）2+4y2=4，即（m2+4）y2+2my-3=0，

记P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=-2mm2+4，y1y2=-3m2+4.

设A1P与l交于点S0（4，y0），由y04+2=y1x1+2，得y0=6y1x1+2.

设A2Q与l交于点S′0（4，y′0），由y′04-2=y2x1-2，得y′0=2y2x2-2.

因为y0-y′0=6y1x1+2-2y2x2-2=6y1（my2-1）-2y2（my1+3）（x1+2）（x2-2）=4my1y2-6（y1+y2）（x1+2）（x2-2）=-12mm2+4--12mm2+4（x1+2）（x2-2）=0，所以y0=y′0，即S0与S′0重合，

这说明，当m变化时，点S恒在定直线x=4上.

评注 我们要善于在动点的变中寻求不变性，此题使用特殊点证得S在某直线上，再证明一般情况也成立.

1.2 三点共线证明直线过定点

例2 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>；b>；0）过点A（a2，a2）和点B（3，1）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点P（x0，y0）在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线l的方程为x0x+3y0y-6=0，①求证：直线l与椭圆C有唯一的公共点；

②若点F关于直线l的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求此定点的坐标.

解析 （1）椭圆方程为x26+y22=1.

（2）①直线l与椭圆相切.

②因为F（-2，0），所以过点F且与直线l垂直的直线方程为3y0x-x0y+6y0=0.

由3y0x-x0y+6y0=0，

x0x+3y0y-6=0，得x=6x0-18y20x20+9y20，

y=18y0+6x0y0x20+9y20，

因为P（x0，y0）在x26+y22=1上，所以3y20=6-x20，故有x=3x0-63-x0，

y=3y03-x0.

所以点F（-2，0）关于直线l的对称点为Q（4x0-63-x0，6y03-x0）.设椭圆右焦点为F′（2，0），

QF′=（4x0-63-x0-2）2+（6y03-x0）2=（4x0-123-x0）2+（6y03-x0）2.

将3y20=6-x20代入化简得

QF′=（6x0-123-x0）2+72-12x20（3-x0）2=24（3-x0）2（3-x0）2=26.

又因为点F关于直线l的对称点为Q，所以PF=PQ，根据椭圆定义可知

PF+PF′=26，所以PQ+PF′=26

所以Q、P、F′三点共线，那么，直线PQ恒过定点（2，0）.

评注 由图像，根据圆锥曲线光学性质，猜出直线PQ过右焦点，接下来通过PQ+PF′=QF′来证明P、Q、F′三点共线，这里也可以根据kPQ=kQF′来证明P、Q、F′三点共线.

1.3 a1x+b1y+c1+λ（a2x+b2y+c2）=0，其中λ任意

例3 已知动点M到F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离.

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）过点F任意做互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N，

设线段AB和MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点.

解析 （1）M的轨迹C的方程为y2=4x.

（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为（x1+x22，y1+y22），由题意可设直线l1的方程为y=k（x-1）（k≠0）

由y2=4x，

y=k（x-1），得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

Δ=（2k2+4）2-4k4=16k2+16>；0，因为直线l1交曲线C于A，B两点，所以x1+x2=2+4k2，

y1+y2=k（x1+x2-2）=4k，

所以点P的坐标为（1+2k2，2k）.

由题意知，直线l2的斜率为-1k，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，-2k），

当k≠±1时，有1+2k2≠1+2k2，此时直线PQ的斜率为

kPQ=2k+2k1+2k2-1-2k2=k1-k2.

所以，直线PQ的方程为y+2k=k1-k2（x-1-2k2），

整理得yk2+（x-3）k-y=0，即k（x-3）+（k2-1）y=0，

由k的任意性，可知x-3=0，

y=0.

于是直线PQ恒过定点E（3，0）.

当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0），

综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）.

评注 此题把直线PQ的方程求出来，接下来消参使曲线方程中只含一个参变量，根据参数的任意性找到定点，也可以把直线方程设为y=kx+m，列一个方程求出k与m的关系式，就可以求出定点.

1.4 几何法

例4 已知点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线l：x=4的距离之比是1∶2.

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）过点F的直线交曲线C于A，B两点，A，B在l上的射影分别为M，N，

求证：AN与BM的公共点在x轴上.

解析 （1）P的轨迹C的方程为x24+y23=1.图1（2）如图1，当AB不垂直于x轴时，设AF=n，则AM=2n，设BF=m，则BN=2m，在△ABN和△ABM中，FH∥AM，FH1∥BN，

所以△ABN∽△AFH1，△BAM∽△BFH，所以AFAB=FHBN，即有nn+m=FH2m，FH=2mnm+n.同理可推，AFAB=FH1BN，即有nn+m=FH12m，FH1=2mnm+n.

所以FH=FH1，所以H与H1重合，所以AN与BM的交点在x轴上.2 圆过定点问题

2.1 特殊探路，一般证明

例5 已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率e=22，且其中一个焦点与抛物线y=14x2的焦点重合.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点S（-13，0）的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

解析 （1）椭圆C方程为x2+y22=1.

（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆的方程是x2+y2=1；

若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆的方程是（x+13）2+y2=169.

由x2+y2=1，

（x+13）2+y2=169，解得x=1，

y=0，即两圆相切于点（1，0）.因此，所求的点T如果存在，只能是（1，0）.

事实上，点T（1，0）就是所求的点，证明如下：

当直线l与x轴重合，以AB为直径的圆过T（1，0）.

当直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k（x+13），由x2+y22=1，

y=k（x+13）. 得（k2+2）x2+23k2x+19k2-2=0.设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=-23k2k2+2，x1x2=19k2-2k2+2.

又因为TA=（x1-1，y1），TB=（x2-1，y2），

TA·TB=（x1-1）（x2-1）+y1y2=（x1-1）（x2-1）+k2（x1+13）（x2+13）=（k2+1）x1x2+（13k2-1）（x1+x2）+19k2+1=（k2+1）19k2-2k2+2+（13k2-1）-23k2k2+2+19k2+1=0，所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆过T（1，0），所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件.

评注 先通过特殊圆确定定点，再转化为有方向有目标的一般性证明.

2.2 一般推理，特殊求解图2例6 已知点P1（x0，y0）为双曲线x28b2-y2b2=1（b为正常数）上任一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于P2.

（1）求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程；

（2）设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x1，y1）（y1≠0），直线QB，QD分别交y轴于M，N两点，求证：以MN为直径的圆过两定点.

解析 （1）P的轨迹E的方程为x22b2-y225b2=1.

（2）在x22b2-y225b2=1中令y=0得x2=2b2，则不妨设B（-2b，0），D（2b，0），

于是直线QB的方程为：y=y1x1+2b（x+2b），

直线QD的方程为：y=y1x1-2b（x-2b），则M（0，2by1x1+2b），N（0，-2by1x1-2b），

则以MN为直径的圆的方程为：x2+（y-2by1x1+2b）（y+2by1x1-2b）=0，令y=0得：x2=2b2y21x21-2b2，而Q（x1，y1）在x22b2-y225b2=1上，则x21-2b2=225y21，

于是x=±5b，即以MN为直径的圆过两定点（-5b，0），（5b，0）.

评注 计算出圆的方程后，圆的方程含有两个参数x1和y1，根据两个参数x1和y1之间的关系式，如果令y=0，得到x为定值x0，说明圆过定点（x0，0），如果令x=0，得到y为定值y0，说明圆过定点（0，y0）.

2.3 x2+y2+Dx+Ey+C1+λ（Ax+By+C2）=0，其中λ任意

例7 已知椭圆O的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点A（2，0），离心率为32，不过点A的动直线y=12x+m交椭圆O于P，Q两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）证明：P，Q两点的横坐标的平方和为定值；

（3）过点A，P，Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标.

解析 （1）椭圆的标准方程为x24+y2=1 .（2）x21+x22=4.

（3）设圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心为（-D2，-E2）.PQ中点M（-m，m2），PQ的垂直平分线的方程为：y=-2x-32m.

圆心（-D2，-E2）满足y=-2x-32m，所以-E2=D-32m.①

圆过定点（2，0），所以4+2D+F=0.②

圆过P（x1，y1），Q（x2，y2），则有

x21+y21+Dx1+Ey1+F=0，x22+y22+Dx2+Ey2+F=0两式相加得

x21+x22+y21+y22+Dx1+Dx2+Ey1+Ey2+2F=0，

x21+x22+（1-x214）+（1-x224）+D（x1+x2）+E（y1+y2）+2F=0，

因为y1+y2=m，所以5-2mD+mE+2F=0. ③

因为动直线y=12x+m与椭圆O交于P，Q（均不与A点重合）所以m≠-1.

又由①②③解得：D=3（m-1）4，E=32m+32，F=-32m-52.

代入圆的方程得：x2+y2+3（m-1）4x+（32m+32）y-32m-52=0，

整理得（x2+y2-34x+32y-52）+m（34x+32y-32）=0，

由x2+y2-34x+32y-52=0，

34x+32y-32=0.解得x=0，

y=1，或x=2，

y=0，（舍），所以圆过定点（0，1）.

评注 这种方法是常规解法，设出或算出圆的方程，根据参数的任意性得到定点坐标.

2.4 几何法

例8 平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.

求：（1）求实数b的取值范围；

（2）求圆C的方程；

（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.

解析 （1）b<1且b≠0.

（2）圆C的方程为x2+y2+2x-（b+1）y+b=0.

（3）圆C必过定点（0，1）和（-2，0）.证明如下：

不妨设函数与x轴交于A，B两点，交y轴于D，E两点，根据割线定理，无论原点O在圆内还是圆外恒有等式：OA·OB=OD·OE，所以xA·xB=yD·yE，又因为xAxB=byD=b，yD=1，所以圆C过定点（0，1），又圆C关于直线x=-1对称，所以圆C又过定点（-2，0），所以圆C过定点（0，1）和（-2，0）.

评注 根据平面几何中圆的割线定理列出等式，算出一个定点，再根据圆的对称性得到另一个定点.

3 一点思考

波利亚说过：“从手头上的问题去寻找这样一些特征，它们在解决即将遇到的问题时可能是有用的，也就是努力去揭示隐藏在这一具体情况之后的一般模式.”对于曲线过定点这类开放性问题，我们不仅要有一定探索能力和创新能力，还要在做题的同时归纳总结出某些问题的特征，找到其中蕴含的解题规律，形成自己的解题技巧，形成知识网络和方法体系，更重要的是把这些问题系统地串在一起，形成问题串和知识链，便于我们梳理此类问题的解法，而且提高了对此类问题的应变能力，只有这样，我们才能以不变应万变，才能让学生跳出题海，才能提高我们的创新能力和实践能力.

作者简介 梁文强，男，1980年生，河南省新野县人，中学一级教师，濮阳市优秀班主任，濮阳市师德标兵，濮阳市优质课一等奖，主要从事高中数学教育和教学研究.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）证明：P，Q两点的横坐标的平方和为定值；

（3）过点A，P，Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标.

解析 （1）椭圆的标准方程为x24+y2=1 .（2）x21+x22=4.

（3）设圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心为（-D2，-E2）.PQ中点M（-m，m2），PQ的垂直平分线的方程为：y=-2x-32m.

圆心（-D2，-E2）满足y=-2x-32m，所以-E2=D-32m.①

圆过定点（2，0），所以4+2D+F=0.②

圆过P（x1，y1），Q（x2，y2），则有

x21+y21+Dx1+Ey1+F=0，x22+y22+Dx2+Ey2+F=0两式相加得

x21+x22+y21+y22+Dx1+Dx2+Ey1+Ey2+2F=0，

x21+x22+（1-x214）+（1-x224）+D（x1+x2）+E（y1+y2）+2F=0，

因为y1+y2=m，所以5-2mD+mE+2F=0. ③

因为动直线y=12x+m与椭圆O交于P，Q（均不与A点重合）所以m≠-1.

又由①②③解得：D=3（m-1）4，E=32m+32，F=-32m-52.

代入圆的方程得：x2+y2+3（m-1）4x+（32m+32）y-32m-52=0，

整理得（x2+y2-34x+32y-52）+m（34x+32y-32）=0，

由x2+y2-34x+32y-52=0，

34x+32y-32=0.解得x=0，

y=1，或x=2，

y=0，（舍），所以圆过定点（0，1）.

评注 这种方法是常规解法，设出或算出圆的方程，根据参数的任意性得到定点坐标.

2.4 几何法

例8 平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.

求：（1）求实数b的取值范围；

（2）求圆C的方程；

（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.

解析 （1）b<1且b≠0.

（2）圆C的方程为x2+y2+2x-（b+1）y+b=0.

（3）圆C必过定点（0，1）和（-2，0）.证明如下：

不妨设函数与x轴交于A，B两点，交y轴于D，E两点，根据割线定理，无论原点O在圆内还是圆外恒有等式：OA·OB=OD·OE，所以xA·xB=yD·yE，又因为xAxB=byD=b，yD=1，所以圆C过定点（0，1），又圆C关于直线x=-1对称，所以圆C又过定点（-2，0），所以圆C过定点（0，1）和（-2，0）.

评注 根据平面几何中圆的割线定理列出等式，算出一个定点，再根据圆的对称性得到另一个定点.

3 一点思考

波利亚说过：“从手头上的问题去寻找这样一些特征，它们在解决即将遇到的问题时可能是有用的，也就是努力去揭示隐藏在这一具体情况之后的一般模式.”对于曲线过定点这类开放性问题，我们不仅要有一定探索能力和创新能力，还要在做题的同时归纳总结出某些问题的特征，找到其中蕴含的解题规律，形成自己的解题技巧，形成知识网络和方法体系，更重要的是把这些问题系统地串在一起，形成问题串和知识链，便于我们梳理此类问题的解法，而且提高了对此类问题的应变能力，只有这样，我们才能以不变应万变，才能让学生跳出题海，才能提高我们的创新能力和实践能力.

作者简介 梁文强，男，1980年生，河南省新野县人，中学一级教师，濮阳市优秀班主任，濮阳市师德标兵，濮阳市优质课一等奖，主要从事高中数学教育和教学研究.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）证明：P，Q两点的横坐标的平方和为定值；

（3）过点A，P，Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标.

解析 （1）椭圆的标准方程为x24+y2=1 .（2）x21+x22=4.

（3）设圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心为（-D2，-E2）.PQ中点M（-m，m2），PQ的垂直平分线的方程为：y=-2x-32m.

圆心（-D2，-E2）满足y=-2x-32m，所以-E2=D-32m.①

圆过定点（2，0），所以4+2D+F=0.②

圆过P（x1，y1），Q（x2，y2），则有

x21+y21+Dx1+Ey1+F=0，x22+y22+Dx2+Ey2+F=0两式相加得

x21+x22+y21+y22+Dx1+Dx2+Ey1+Ey2+2F=0，

x21+x22+（1-x214）+（1-x224）+D（x1+x2）+E（y1+y2）+2F=0，

因为y1+y2=m，所以5-2mD+mE+2F=0. ③

因为动直线y=12x+m与椭圆O交于P，Q（均不与A点重合）所以m≠-1.

又由①②③解得：D=3（m-1）4，E=32m+32，F=-32m-52.

代入圆的方程得：x2+y2+3（m-1）4x+（32m+32）y-32m-52=0，

整理得（x2+y2-34x+32y-52）+m（34x+32y-32）=0，

由x2+y2-34x+32y-52=0，

34x+32y-32=0.解得x=0，

y=1，或x=2，

y=0，（舍），所以圆过定点（0，1）.

评注 这种方法是常规解法，设出或算出圆的方程，根据参数的任意性得到定点坐标.

2.4 几何法

例8 平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.

求：（1）求实数b的取值范围；

（2）求圆C的方程；

（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.

解析 （1）b<1且b≠0.

（2）圆C的方程为x2+y2+2x-（b+1）y+b=0.

（3）圆C必过定点（0，1）和（-2，0）.证明如下：

不妨设函数与x轴交于A，B两点，交y轴于D，E两点，根据割线定理，无论原点O在圆内还是圆外恒有等式：OA·OB=OD·OE，所以xA·xB=yD·yE，又因为xAxB=byD=b，yD=1，所以圆C过定点（0，1），又圆C关于直线x=-1对称，所以圆C又过定点（-2，0），所以圆C过定点（0，1）和（-2，0）.

评注 根据平面几何中圆的割线定理列出等式，算出一个定点，再根据圆的对称性得到另一个定点.

3 一点思考

波利亚说过：“从手头上的问题去寻找这样一些特征，它们在解决即将遇到的问题时可能是有用的，也就是努力去揭示隐藏在这一具体情况之后的一般模式.”对于曲线过定点这类开放性问题，我们不仅要有一定探索能力和创新能力，还要在做题的同时归纳总结出某些问题的特征，找到其中蕴含的解题规律，形成自己的解题技巧，形成知识网络和方法体系，更重要的是把这些问题系统地串在一起，形成问题串和知识链，便于我们梳理此类问题的解法，而且提高了对此类问题的应变能力，只有这样，我们才能以不变应万变，才能让学生跳出题海，才能提高我们的创新能力和实践能力.

作者简介 梁文强，男，1980年生，河南省新野县人，中学一级教师，濮阳市优秀班主任，濮阳市师德标兵，濮阳市优质课一等奖，主要从事高中数学教育和教学研究.