数学精练有“五性”

郭建平

有人说，数学很简单，绕来绕去就是那么几个定理公式，让学生掌握就行了。可是实际情况并非如此，中考120分的试卷，能够达到优秀的学生一般不到考生总数的20%。是题目的难度系数大了吗？可是出题者一般把难度控制在0.6～0.7之间。为什么学生考不好，是平时训练不够吗？我看也不尽然。要想学生取得良好的学习效果，教师的教学除了体现“精讲”之外，“精练”也是不可等闲视之的。结合教学实际，笔者认为数学“精练”要体现“五性”。

一、趣味性

兴趣是最好的老师，牢牢把握兴趣这一关，让学生学得开心，乐在其中是最好的教学方法。因此，教师的练习题目要体现趣味性，寓教于乐，寓知识性于趣味性之中。如在学习数学单位时，我出了以下一个趣味题：

求：1元=1分

解：1元=100分

=10分×10分

=0.1元×0.1元

=1分

谁能看出其中的破绽呢？

分析：“100分=10分×10分”这个等式不能成立，两边的单位不一样，右边是分的平方。学生听后恍然大悟，在轻松的氛围中学生们都学到了新知。

此外，学习了一元一次方程后，我列举了巧设未知数的例题：

李叔叔从A地坐火车去B地。火车行了全程的一半时他睡着了，醒来时看看路标发现剩下路程是所行路程的三分之一，问火车行了全程的几分之几？

分析：这是一个没有具体里程的题目，学生会感到为难，但如果理解了题目大意，巧妙设定未知数，还是比较好解的。

解：设李叔叔醒来看过路标时火车所行的路程为[x]，剩下的路程为[x3]，全程为[x]+[x3]=[4x3]

∴此时火车所行的路程÷全程即为所求

[x]÷[4x3]=[34]

二、基础性

知识的累积和完成是一个由易渐难、由浅入深、由低到高、循序渐进的过程。这个过程是无法一蹴而就的，需要拥有坚实的基础。所谓基础不牢，地动山摇是也。我在教学反比例函数时，非常重视基础知识的讲解，将知识点回归到教材中，根据定义解题。

例：当[k]为何值时，[y=（k-1）xk2-2]是关于[x]的反比例函数。

一般地，我们把形如y=[kx]（[k]为常数，[k][≠]0）的函数称为反比例函数，其变形[y=kx-1]或[xy=k]（[k]为常数，[k][≠]0）。学生应该加以熟练掌握。

解：由题意得：[k2-2]=-1

且[k]-1[≠]0

解得：[k]=-1

分析：注意反比例函数的[y]=[kx]变式[y=kx-1]，并注意[k][≠0]这个条件。

三、实用性

把所学的知识运用到生活中，是学习数学的最终目的。数学课程标准中也明确指出：“教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。”它可以帮助学生增进对知识的理解，了解知识的价值，增强学习和应用数学知识的信心。教学中应努力激发学生运用知识解决问题的欲望，引导学生自觉地应用所学知识解决生活中相关的问题。因此，在数学生活化的学习过程中，教师要注重引导学生领悟数学“源于生活，又用于生活”的道理，有些知识完全可以让学生在生活实践中感知、解决数学问题。

例如，教学《长方形和正方形的面积》后，可以创设这样一个情境：有一间长6米，宽4米的客厅，爸爸准备花1000元铺地砖。你和爸爸一起去商店挑选材料。其中有3种规格的地砖：甲种是边长为60厘米的正方形地砖，每块18元;乙种是边长为60厘米的正方形地砖，每块15元;丙种是边长为50厘米的正方形地砖，每块14元。你能为你父母做参谋，买到适合你家的地砖吗？

买地砖，关键是要搞清楚所买的地砖应符合下列条件：（1）价格适中，总价在1000元以内;（2）质量较好。那么，究竟哪一种地砖符合条件呢？只有尽快地算一算才行。首先算出家里铺甲、乙、丙三种地砖分别需要几块：用房间面积÷甲（乙或丙）的地砖面积。再分别算出铺三种地砖各需的费用，分别为1200元、1000元、1344元。最后通过比较知道，丙种价格较贵，甲、乙规格相同，且乙的价格与预期相符合，所以选择种乙种地砖最合适。上述例子，将学生所学的知识回归到日常生活中去，又从生活实践中弥补课本上学不到的知识，自然满足了学生的求知欲，同时也增加了学生解决实际问题的能力。

四、实战性

是骡子还是马，必须拉出去溜溜。学生学得好不好，关键还要经过中考的检验。因此，教师所选习题要体现考纲要求，与中考相结合，充分调动学生学习积极性。

例：如图，[A]，[B]是双曲线[y]=[3x]上的两点，分别经过A，B两点向[x]，[y]轴作垂线段，若[S]阴影=2，则[S1]+[S2]=       。

分析：根据函数图像的性质，由点A，B分别向两坐标轴作垂线段，所围成的图形面积相等，并且都等于k的绝对值。

[S]阴影+[S1]=3，[S]阴影+[S2]=3;不难得到[S1]+[S2]=2。

五、有效性

课堂教学是一种有目的的、讲效益的活动，有效性是数学教学的生命。通过实践可知，教师在选择数学习题时，将那些与生活实际联系紧密，与生活相关的习题挑选出来，学生们还是更有兴趣的，练习的效率也更高。如阶梯水费收费、阶梯电价收费、手机收费等等，都是一些能够激发学生学习能动性的好题，教师可以善加利用。

例：某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费，每户每月用水量如果超过20吨，未超过的部分仍按每吨1.9元收费，超过的部分则按每吨2.8元收费，设某户每月用水量为X吨，应收水费为Y元。

（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时，Y和X间的函数关系式;

（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？

分析：这是标准的分段函数，与生活联系也比较紧密，学生有着浓厚的兴趣，教师加以适当点拨就够了，具体过程可放手让学生探究。

毋庸讳言，一方面，现在仍有部分教师认为“韩信将兵多多益善”，采用题海战术，学生苦不堪言;另一方面，现在的教辅资料多如牛毛，其中许多资料或胡编乱造，或与教材脱节，或相互抄袭，没有创新。这就要求我们教师要练就火眼金睛，紧紧围绕课标选择习题，去芜取菁，将学生从“题海”中解脱出来，切实提高教学效果，达到事半功倍之效。

有人说，数学很简单，绕来绕去就是那么几个定理公式，让学生掌握就行了。可是实际情况并非如此，中考120分的试卷，能够达到优秀的学生一般不到考生总数的20%。是题目的难度系数大了吗？可是出题者一般把难度控制在0.6～0.7之间。为什么学生考不好，是平时训练不够吗？我看也不尽然。要想学生取得良好的学习效果，教师的教学除了体现“精讲”之外，“精练”也是不可等闲视之的。结合教学实际，笔者认为数学“精练”要体现“五性”。

一、趣味性

兴趣是最好的老师，牢牢把握兴趣这一关，让学生学得开心，乐在其中是最好的教学方法。因此，教师的练习题目要体现趣味性，寓教于乐，寓知识性于趣味性之中。如在学习数学单位时，我出了以下一个趣味题：

求：1元=1分

解：1元=100分

=10分×10分

=0.1元×0.1元

=1分

谁能看出其中的破绽呢？

分析：“100分=10分×10分”这个等式不能成立，两边的单位不一样，右边是分的平方。学生听后恍然大悟，在轻松的氛围中学生们都学到了新知。

此外，学习了一元一次方程后，我列举了巧设未知数的例题：

李叔叔从A地坐火车去B地。火车行了全程的一半时他睡着了，醒来时看看路标发现剩下路程是所行路程的三分之一，问火车行了全程的几分之几？

分析：这是一个没有具体里程的题目，学生会感到为难，但如果理解了题目大意，巧妙设定未知数，还是比较好解的。

解：设李叔叔醒来看过路标时火车所行的路程为[x]，剩下的路程为[x3]，全程为[x]+[x3]=[4x3]

∴此时火车所行的路程÷全程即为所求

[x]÷[4x3]=[34]

二、基础性

知识的累积和完成是一个由易渐难、由浅入深、由低到高、循序渐进的过程。这个过程是无法一蹴而就的，需要拥有坚实的基础。所谓基础不牢，地动山摇是也。我在教学反比例函数时，非常重视基础知识的讲解，将知识点回归到教材中，根据定义解题。

例：当[k]为何值时，[y=（k-1）xk2-2]是关于[x]的反比例函数。

一般地，我们把形如y=[kx]（[k]为常数，[k][≠]0）的函数称为反比例函数，其变形[y=kx-1]或[xy=k]（[k]为常数，[k][≠]0）。学生应该加以熟练掌握。

解：由题意得：[k2-2]=-1

且[k]-1[≠]0

解得：[k]=-1

分析：注意反比例函数的[y]=[kx]变式[y=kx-1]，并注意[k][≠0]这个条件。

三、实用性

把所学的知识运用到生活中，是学习数学的最终目的。数学课程标准中也明确指出：“教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。”它可以帮助学生增进对知识的理解，了解知识的价值，增强学习和应用数学知识的信心。教学中应努力激发学生运用知识解决问题的欲望，引导学生自觉地应用所学知识解决生活中相关的问题。因此，在数学生活化的学习过程中，教师要注重引导学生领悟数学“源于生活，又用于生活”的道理，有些知识完全可以让学生在生活实践中感知、解决数学问题。

例如，教学《长方形和正方形的面积》后，可以创设这样一个情境：有一间长6米，宽4米的客厅，爸爸准备花1000元铺地砖。你和爸爸一起去商店挑选材料。其中有3种规格的地砖：甲种是边长为60厘米的正方形地砖，每块18元;乙种是边长为60厘米的正方形地砖，每块15元;丙种是边长为50厘米的正方形地砖，每块14元。你能为你父母做参谋，买到适合你家的地砖吗？

买地砖，关键是要搞清楚所买的地砖应符合下列条件：（1）价格适中，总价在1000元以内;（2）质量较好。那么，究竟哪一种地砖符合条件呢？只有尽快地算一算才行。首先算出家里铺甲、乙、丙三种地砖分别需要几块：用房间面积÷甲（乙或丙）的地砖面积。再分别算出铺三种地砖各需的费用，分别为1200元、1000元、1344元。最后通过比较知道，丙种价格较贵，甲、乙规格相同，且乙的价格与预期相符合，所以选择种乙种地砖最合适。上述例子，将学生所学的知识回归到日常生活中去，又从生活实践中弥补课本上学不到的知识，自然满足了学生的求知欲，同时也增加了学生解决实际问题的能力。

四、实战性

是骡子还是马，必须拉出去溜溜。学生学得好不好，关键还要经过中考的检验。因此，教师所选习题要体现考纲要求，与中考相结合，充分调动学生学习积极性。

例：如图，[A]，[B]是双曲线[y]=[3x]上的两点，分别经过A，B两点向[x]，[y]轴作垂线段，若[S]阴影=2，则[S1]+[S2]=       。

分析：根据函数图像的性质，由点A，B分别向两坐标轴作垂线段，所围成的图形面积相等，并且都等于k的绝对值。

[S]阴影+[S1]=3，[S]阴影+[S2]=3;不难得到[S1]+[S2]=2。

五、有效性

课堂教学是一种有目的的、讲效益的活动，有效性是数学教学的生命。通过实践可知，教师在选择数学习题时，将那些与生活实际联系紧密，与生活相关的习题挑选出来，学生们还是更有兴趣的，练习的效率也更高。如阶梯水费收费、阶梯电价收费、手机收费等等，都是一些能够激发学生学习能动性的好题，教师可以善加利用。

例：某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费，每户每月用水量如果超过20吨，未超过的部分仍按每吨1.9元收费，超过的部分则按每吨2.8元收费，设某户每月用水量为X吨，应收水费为Y元。

（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时，Y和X间的函数关系式;

（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？

分析：这是标准的分段函数，与生活联系也比较紧密，学生有着浓厚的兴趣，教师加以适当点拨就够了，具体过程可放手让学生探究。

毋庸讳言，一方面，现在仍有部分教师认为“韩信将兵多多益善”，采用题海战术，学生苦不堪言;另一方面，现在的教辅资料多如牛毛，其中许多资料或胡编乱造，或与教材脱节，或相互抄袭，没有创新。这就要求我们教师要练就火眼金睛，紧紧围绕课标选择习题，去芜取菁，将学生从“题海”中解脱出来，切实提高教学效果，达到事半功倍之效。

有人说，数学很简单，绕来绕去就是那么几个定理公式，让学生掌握就行了。可是实际情况并非如此，中考120分的试卷，能够达到优秀的学生一般不到考生总数的20%。是题目的难度系数大了吗？可是出题者一般把难度控制在0.6～0.7之间。为什么学生考不好，是平时训练不够吗？我看也不尽然。要想学生取得良好的学习效果，教师的教学除了体现“精讲”之外，“精练”也是不可等闲视之的。结合教学实际，笔者认为数学“精练”要体现“五性”。

一、趣味性

兴趣是最好的老师，牢牢把握兴趣这一关，让学生学得开心，乐在其中是最好的教学方法。因此，教师的练习题目要体现趣味性，寓教于乐，寓知识性于趣味性之中。如在学习数学单位时，我出了以下一个趣味题：

求：1元=1分

解：1元=100分

=10分×10分

=0.1元×0.1元

=1分

谁能看出其中的破绽呢？

分析：“100分=10分×10分”这个等式不能成立，两边的单位不一样，右边是分的平方。学生听后恍然大悟，在轻松的氛围中学生们都学到了新知。

此外，学习了一元一次方程后，我列举了巧设未知数的例题：

李叔叔从A地坐火车去B地。火车行了全程的一半时他睡着了，醒来时看看路标发现剩下路程是所行路程的三分之一，问火车行了全程的几分之几？

分析：这是一个没有具体里程的题目，学生会感到为难，但如果理解了题目大意，巧妙设定未知数，还是比较好解的。

解：设李叔叔醒来看过路标时火车所行的路程为[x]，剩下的路程为[x3]，全程为[x]+[x3]=[4x3]

∴此时火车所行的路程÷全程即为所求

[x]÷[4x3]=[34]

二、基础性

知识的累积和完成是一个由易渐难、由浅入深、由低到高、循序渐进的过程。这个过程是无法一蹴而就的，需要拥有坚实的基础。所谓基础不牢，地动山摇是也。我在教学反比例函数时，非常重视基础知识的讲解，将知识点回归到教材中，根据定义解题。

例：当[k]为何值时，[y=（k-1）xk2-2]是关于[x]的反比例函数。

一般地，我们把形如y=[kx]（[k]为常数，[k][≠]0）的函数称为反比例函数，其变形[y=kx-1]或[xy=k]（[k]为常数，[k][≠]0）。学生应该加以熟练掌握。

解：由题意得：[k2-2]=-1

且[k]-1[≠]0

解得：[k]=-1

分析：注意反比例函数的[y]=[kx]变式[y=kx-1]，并注意[k][≠0]这个条件。

三、实用性

把所学的知识运用到生活中，是学习数学的最终目的。数学课程标准中也明确指出：“教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。”它可以帮助学生增进对知识的理解，了解知识的价值，增强学习和应用数学知识的信心。教学中应努力激发学生运用知识解决问题的欲望，引导学生自觉地应用所学知识解决生活中相关的问题。因此，在数学生活化的学习过程中，教师要注重引导学生领悟数学“源于生活，又用于生活”的道理，有些知识完全可以让学生在生活实践中感知、解决数学问题。

例如，教学《长方形和正方形的面积》后，可以创设这样一个情境：有一间长6米，宽4米的客厅，爸爸准备花1000元铺地砖。你和爸爸一起去商店挑选材料。其中有3种规格的地砖：甲种是边长为60厘米的正方形地砖，每块18元;乙种是边长为60厘米的正方形地砖，每块15元;丙种是边长为50厘米的正方形地砖，每块14元。你能为你父母做参谋，买到适合你家的地砖吗？

买地砖，关键是要搞清楚所买的地砖应符合下列条件：（1）价格适中，总价在1000元以内;（2）质量较好。那么，究竟哪一种地砖符合条件呢？只有尽快地算一算才行。首先算出家里铺甲、乙、丙三种地砖分别需要几块：用房间面积÷甲（乙或丙）的地砖面积。再分别算出铺三种地砖各需的费用，分别为1200元、1000元、1344元。最后通过比较知道，丙种价格较贵，甲、乙规格相同，且乙的价格与预期相符合，所以选择种乙种地砖最合适。上述例子，将学生所学的知识回归到日常生活中去，又从生活实践中弥补课本上学不到的知识，自然满足了学生的求知欲，同时也增加了学生解决实际问题的能力。

四、实战性

是骡子还是马，必须拉出去溜溜。学生学得好不好，关键还要经过中考的检验。因此，教师所选习题要体现考纲要求，与中考相结合，充分调动学生学习积极性。

例：如图，[A]，[B]是双曲线[y]=[3x]上的两点，分别经过A，B两点向[x]，[y]轴作垂线段，若[S]阴影=2，则[S1]+[S2]=       。

分析：根据函数图像的性质，由点A，B分别向两坐标轴作垂线段，所围成的图形面积相等，并且都等于k的绝对值。

[S]阴影+[S1]=3，[S]阴影+[S2]=3;不难得到[S1]+[S2]=2。

五、有效性

课堂教学是一种有目的的、讲效益的活动，有效性是数学教学的生命。通过实践可知，教师在选择数学习题时，将那些与生活实际联系紧密，与生活相关的习题挑选出来，学生们还是更有兴趣的，练习的效率也更高。如阶梯水费收费、阶梯电价收费、手机收费等等，都是一些能够激发学生学习能动性的好题，教师可以善加利用。

例：某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费，每户每月用水量如果超过20吨，未超过的部分仍按每吨1.9元收费，超过的部分则按每吨2.8元收费，设某户每月用水量为X吨，应收水费为Y元。

（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时，Y和X间的函数关系式;

（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？

分析：这是标准的分段函数，与生活联系也比较紧密，学生有着浓厚的兴趣，教师加以适当点拨就够了，具体过程可放手让学生探究。

毋庸讳言，一方面，现在仍有部分教师认为“韩信将兵多多益善”，采用题海战术，学生苦不堪言;另一方面，现在的教辅资料多如牛毛，其中许多资料或胡编乱造，或与教材脱节，或相互抄袭，没有创新。这就要求我们教师要练就火眼金睛，紧紧围绕课标选择习题，去芜取菁，将学生从“题海”中解脱出来，切实提高教学效果，达到事半功倍之效。