一个创新型数学实验项目的设计与实现

□ 吕国才 李 晔 艾冬梅 李艳晴

党的十八大正式将“创新驱动”上升为国家战略之后，李克强总理2015年更是倡导要“大众创业，万众创新”。那么，如何实施好创新驱动发展战略、激发全社会的创新活力、培育经济社会发展的新动力呢?实际上，高等院校开设的实验教学就是一门很好的激发学生想象力和创造力的课程，然而由于开设的实验多以基础性和验证性实验居多，综合性实验和创新实验较少，使得实验教学没能完全发挥激发学生创新能力的作用。以数学实验课为例，近年来，我国许多高等院校都已开设了《数学实验》课程，并编写了相应教材［1～4］。然而，许多高校《数学实验》教学多停留在使用MATLAB等数学软件，进行一些简单的验证性实验上。这些教学内容对熟悉软件，初步掌握数学建模的基本方法是有意义的，但是在培养学生创新能力，提高学生的综合素质方面还很不够。因此，需要将现有的数学实验教学提高一个层次［5～7］。将科学研究中一些简单、有趣的问题移植到创新实验教学中，有利于调动学生学习的主动性和积极性，激发学生的研究热情，培养学生创新精神和创新意识。本文精心设计将分子模拟中结构优化的科学研究问题转化为一个创新实验教学实验项目。

随着计算机技术和数值计算方法的不断发展，利用计算机模拟技术研究分子的性质已得到广泛的应用。在模拟的过程中，首先要建立初始模型，由于初始模型的构建通常是靠大量的实测数据的平均值，所以构建出的初始模型不是分子的稳定结构。因此要应用最优化方法对初始模型进行结构优化。这一问题从数学模型建立、求解及最后的结果分析都不是很复杂，可以应用到数学实验中。数学实验中常用的最优化方法有单纯形法、最速下降法、共轭梯度法和牛顿-拉森方法等［8，9］。共轭梯度法因其存储小，收敛性好等优点可以用来解决结构优化问题。

一、实验目的及要求

(一)实验目的。理解共轭梯度优化方法的基本原理及其优化特点。

(二)实验要求。掌握共轭梯度方法编程技巧，并能对分子模拟初始模型进行优化。

图1 Fe原子在三维空间的初始结构

二、实验原理

共轭梯度法是1952年Hesteness和Stiefel为求解线性方程组提出的，后来用于求解无约束极值问题［10］。它是一种重要的优化方法。共轭梯度法的基本思想是把最速下降法与二次函数共轭方向结合起来，利用已知位置处的梯度构造一组共轭的方向，并沿着这一组方向进行一维搜索，求出目标函数的极小点。

(一)共轭方向的构造。共轭方向可依据Gram－Schmidt正交化方法来构造。设Q是n×n阶对称正定矩阵，g0为任意向量。定义向量序列{gi}和{pi}如下:

取

可使集合{gi}相互正交，集合{pi}是相互Q共轭的。

(二)共轭梯度方法。由式(1)和(2)构成的向量集{pi}是相互Q共轭的，{gi}是相互正交的。当令gi=－△f(xi)时，以下求极值的算法称为共轭梯度法。

初始值取 x0，p0=g0，= －△f(x0)，其中，gκ为 κ点处函数△f(x)的梯度，共轭方向为从κ点开始维搜索的方向。

三、实验步骤

第一，应用MATLAB软件构筑Fe原子在三维空间的初始模型，如图1所示。构筑的x，y和z方向分别沿、和三个晶体学方向。空间点阵大小为10×10×10a0(a0为晶格常数，初始结构的晶常数取3．0)。

第二，应用MATLAB软件编程实现共轭梯度算法。

第三，用第二步中实现的共轭梯度算法对第一步中构筑的Fe原子初始模型进行结构优化。

第四，实验数据处理与分析。

四、结果与讨论

图2 Fe原子能量与晶格常数间的变化关系

图2给出的是应用共轭梯算对Fe原子初始结构进行结构优化过程中Fe原子的能量与晶格常数间的变化关系，其中方块表示能量的数据点，黑色的实线是拟合的曲线。由拟合曲线得到Fe原子的能量在晶常数为2．855时达到最小。因此晶格常数为3．0时的初始结构并不是稳定结构。体系处于稳定结构时的晶格常数应该是2．855。

五、结语

通过上述实验:可以使学生了解共轭梯度方法的基本原理，掌握应用MATLAB编程的技巧，对于分子模拟结构优化的科学研究问题也有了初步的认识，为学生以后从事科学研究和生产活动打下一定的基础。同时通过该实验的实施可将自主创新的科学理念融入到学生的日常学习和实验中，激发学生探索科学问题的热情，培养学生的创新意识。

［1］姜启源，谢金星，邢文训．大学数学实验［M］．北京:清华大学出版社，2005

［2］艾冬梅，李艳晴，张丽静．MATLAB与数学实验［M］．北京:机械工业出版社，2014

［3］李秀珍，庞常词．数学实验［M］．北京:机械工业出版社，2008

［4］王向东，戎海武，文翰．数学实验［M］．北京:高等教育出版社，2004

［5］李继成，朱旭，王绵森，武忠祥．《数学实验》课程建设及分层次教学与实践［J］．大学数学，2005，21(6):29～31

［6］周锦兰，王宏，聂进．多层次大学生创新实验平台的构建与实践［J］．实验技术与管理，2011，28(4):16 ～21

［7］赵冰，阮晓青．新形势下高等数学分级教学模式的探索［J］．高等数学研究，2010，13(5):7 ～9

［8］陈正隆，徐为人，汤立达．分子模拟的理论与实践［M］．北京:化学工业出版社，2007

［9］陈敏伯．计算化学－从理论化学到分子模拟［M］．北京:科学出版社，2009

［10］程极泰．最优设计的数学方法［M］．北京:国防工业出版社，1981，11