中学数学教学中逆向思维能力的培养

(福建省漳州市第五中学 363000)

逆向思维是数学中一种重要的思维方法，逆向思维就是突破一般思维定势，从相反的角度去思考问题。它是在解决问题时，从习惯性的思维的相反方向进行探索，即直接解决有困难时可以采用间接方法，由此寻求出解决问题的方法。

数学教学中应当重视对学生逆向思维能力的训练。教师要自觉地、有目的地加强对学生逆向思维能力的训练，有利于学生智力开发，使学生正向、逆向思维同步发展。在数学教学中，如何培养学生的逆向思维能力呢?下面结合数学教学实际谈谈对中学生逆向思维能力的培养。

一、概念教学中逆向思维的训练

以逆向思维强化概念，是常用的数学方法。作为基本概念的数学命题，有许多逆命题是成立的，因此，学习新概念时，如能注意从逆向提问，学生不仅对新概念辨析得更清楚，理解得更透彻，还能培养学生养成双向考虑问题的良好习惯。

如在平面几何的教学中，对每一个定义都引导学生分清其正逆方向的关系，对推理论证的教学很有好处。例如，平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。它的定义既给出了平行四边形的一种判定方法，又给出了平行四边形的一种性质。用符号表示即为：

正向思维：∵AB∥CD，AD∥BC

∴四边形ABCD是平行四边形

逆向思维：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD，AD∥BC

图1

又如，学习“方程的解”的概念时可引导学生逆向表述，使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。反过来，就有方程的解是使方程两边的值相等的未知数的值。利用这种可能性，对于一些直观的选择题若求方程的解，我们可以直接将答案代入看是否满足，若满足则就是该方程的解。

A．1；B.2； C.3；D.4

这样引导学生从相反方面灵活思考问题，就能加深对方程的解的理解，遇到选择题时就没有必要解方程求解，可以节省大量时间，提高效率。

二、法则、公式在教学中逆向思维的训练

比如，在推导同底数幂的乘法、积的幂、幂的乘方等公式的过程中，都要用到乘方及其逆运算，下面以推导积的幂为例：

(ab)n=ab·ab……ab·ab （n 个 ab 相乘）（乘方运算的逆用）

=a·a……a·b·b……b（n 个 a 相乘与 n 个b相乘）

=anbn（乘方运算）

逆用公式不仅有利于牢固掌握公式，而且能够达到解题灵活、迅速的目的，提高思维能力。例如，利用面积、体积公式求距离，利用线段中点坐标公式求其一端点的坐标等。

又如，对于公式a(b+c)=ab+ac①，(a+b)(a-b)=a2-b2②，(a±b)2=a2±2ab+b2③，不仅要会正用，还要学会逆用。

例 2：[2(m4-2m2n2+n2)+m4-n4]÷（m2-n2）

解：原式=[2(m2-n2)2+(m2+n2)(m2-n2)]÷（m2-n2）（②与③的逆用）

=[2(m2-n2)+(m2+n2)](m2-n2)÷（m2-n2）（①的逆用）

=2(m2-n2)+(m2+n2)

=3m2-n2

在整式计算教学中，教师经常设计一些逆用公式的题目，不仅可以提高计算速度，还可以为将来学习因式分解打下良好的基础。

三、在解题中用分析法培养学生的逆向思维能力

分析法，在解决数学问题时，通过对实际问题的分析，排除次要矛盾，抓住主要矛盾，以使问题获得解决的一种方法。具体实施过程是由命题的结论入手，找到使命题成立的必备条件，一步步地逆推与假设会合，概括表述为“执果索 因”的推理过程。分析法含有逆向思维的过程，它不仅能够帮助我们解决问题，还可以探索多种解法，它是与综合法相对的一种思维方式。

在许多证明中，寻找出证明方法的过程往往是逆向的。下面以一例说明。

例3：已知：∠ABC中的一条射线BD上有一点P，如下图所示，AD=CD，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N且PM=PN。求证

图2

分析：若直接从已知出发，不易证明。若从结论出发，执果索因，就变得较容易了。从求证看，只需证明BD是∠ABC的平分线，或∠ABD=∠CBD，那就需要用角平分线的判定定理或三角形全等的方法，结合图形只需证明△ABD≌△CBD，从条件看，有 BD=BD（公共边），AD=CD，所以只需找出它们的夹角或第三边对应相等，依题意只需证明∠ADB=∠CDB，类似的逆向分析，只需证明△MPD≌△NPD（HL）或 DP是∠ADC的平分线，可得∠ADB=∠CDB。

在解题时，学生大都喜欢课本上介绍的和教师课堂上讲述的方法。这固然应该加以提倡，但对有些题目，用常用的方法、套路去求解时，求解过程会显得很繁杂，甚至难以完成。遇此情况，无法从正面或较难从正面入手，可转向研究此问题的反面，从相反的方向去思考问题，我们可以尝试转换思路，另辟蹊径。不但可以收到化繁为简，化难为易的功效，而且可打破解题中墨守成规的陋习。

四、定理教学中逆向思维的训练

在学习过某些定理之后，引导学生思考并用清晰的语言来叙述它的逆命题 ，再去判断或论证逆命题的真假，若是真命题则原定理存在逆定理，然后去运用它，这是逆向思维训练的有效方法。

在教学中，平行线的性质及判定定理，角平分线的性质及其判定，垂直平分线的性质及其判定，平行四边形的性质及其判定，三角形的全等和相似的性质及判定，勾股定理及其逆定理，三垂线定理及其逆定理都是培养学生逆向思维能力的典例。对此，教师应该认真地研究、透彻地分析，精心地选择习题，并引导学生去思考，从而提高他们的逆向思维能力。

总之，学生逆向思维能力的训练既是数学传统的课题，又是很值得不断深入探索的课题。训练学生逆向思维能力是提高学生逻辑思维能力的重要途径，也是提高学生思维灵活性的重要途径。在教学中，要求教师认真研究教学方法，逐步渗透，不仅注重知识的传授，还要注重方法教学，真正引导学生学会分析问题，解决问题，从而使学生树立学习数学的信心，调动其学习数学的积极主动性，即通过教师的“教”，让学生学会“学”，这才是真正的目的。

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