基于课型的初中数学课外探究性作业设计研究

（浙江省平湖市黄姑中学 314203）

一、探究性课外作业的意义

杨振宁博士曾作过这样的对比：中国学生学习成绩比一起学习的美国学生好得多，然而十年后，科研成果却比人家少得多，原因何在？其实就在于美国的学生思维活跃，动手能力和创新能力强。

探究性课外作业是培养学生探究精神和创新意识的好途径，也是改变学生学习方式和教师教学方式的好方法。在对布置探究性课外作业进行探索的实践中，我发现每个学生都能在探究中显示自己的才华。

精心设计的探究性课外作业不仅能起到复习、巩固知识的作用和提高学生学习兴趣、培养创新能力的作用，还是逐步让学生学会用数学解决实际问题和对是非曲直进行判断的能力。探究性课外作业是把课堂上的探究活动延伸到课后，从培养学生学习兴趣入手，逐步培养学生自主学习的能力，并最终养成终身学习的习惯。

让学生做探究性课外作业不仅是学生学习数学知识，还是学习获取知识的思维过程，数学思想和数学方法本身就是数学的基础知识，是探索知识的能力和方法的源泉。

当课本知识被成功地用于解决实际问题时，它就会变成一种动力，促使学生对知识主动追求和探索。探究性课外作业对学生形成自主学习能力有很大帮助，对于学生学习将起到持续的作用。

二、基于课型的初中数学课外探究性作业形式

探究性教学是以问题为主导，以学生为主体，激发学生的兴趣，引导学生积极思考的教学形式。在课堂教学中，教师应以问题为契机，根据学生的思维发展水平，设计出难易适中、典型性强、具有探索性、开放性、启发性和对学生有挑战性的问题，使之贯穿于课堂教学始终。在数学课堂教学中，探究式教学的策略大致为创设问题情境、发现问题、猜想、探究问题、解决问题、反思及拓展问题。根据不同的课型，设计相应的课前和课后的探究性作业，具体如下。

（一）概念课的探究性课外作业

数学的概念教学是数学教学中的重要环节，其根本的任务是准确揭示概念的内涵和外延，使学生思考问题，有创见地解决问题。探究性课外作业有助于学生把握数学概念的属性及其内部联系。

以浙教版数学七年级上册的3.2“实数”中的概念的探究性课外作业为例。

课前探究：求面积为2的正方形的边长，并回答下列问题：

（1）这样的数存在吗？（创设直观情境，增加感性体验）

（2）能用以前的数进行表示吗？怎么表示？边长介于哪两个整数之间？（引导探究，形成概念）学生会去翻阅课本或查找资料。

（3）你能表示面积为10π的圆的半径吗？（应用概念）

课后探究：第一个发现无理数的是谁（中、外）？（深化概念）

通过对一系列问题的自主学习和小组讨论、探讨，将概念纳入到学生已有的知识结构中去，学生不仅要去查找资料，有效地突破难点，准确、全面地理解概念，还学习了科学抽象、概括等思维方法。

（二）定理课的探究性课外作业

数学定理利用探究性教学有助于学生掌握教材中的重点、难点。在浙教版数学八年级上1.1“认识三角形”中的定理：三角形三个内角的和等于180°。

课前探究：任意画六个三角形：

（1）把其中3个三角形的3个角撕下来，拼在一起你发现了什么？再量一量另外3个三角形的3个内角？你发现什么关系？（动手探究、观察问题）

（2）你能叙述你这个发现吗？（归纳、猜想、证明定理）

（3）如果一个三角形的两个内角分别为55°，60°。你知道第3个内角是多少度吗？（正确理解和应用定理）

课后探究：

（1）你知道四边形、五边形的内角和吗？n边形的内角和呢？（深化和拓宽定理的应用）

（2）你能用形状、大小完全相同的三角形地砖不留空隙、不重叠地铺一个房间吗？（四周可留空隙）

（三）公式课的探究性课外作业

公式是一种特殊形式的数学命题，利用探究性教学能呈现公式的由来，指导学生根据公式的特点进行记忆并应用。

以浙教版数学七年级下册3.4的“乘法公式”中的平方差公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2的教学为例。

课前探究：请你用已学知识（多项式乘以多项式）计算下列试题：

A（x－1）（x＋2）； B（x＋2）（x－2）；

C（1+3a）（1－3a）； D（x＋5y）（x－5y）；

E（y－3b）（y＋3b）； F（－x＋2y）（x＋2y）。

（1）两个两项多项式的积有几项？积为两项的这两个多项式有什么特点？（计算、观察）

（2）你能用数学符号来表示你的猜想吗？（数学证明）

（3）如图1、2，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。一位学生将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示这两个图形的面积吗？能验证上题你发现的规律吗？（实验验证）

图1

图2

课后探究：计算：（应用公式并深化、灵活运用公式）

通过学生自己的观察、思考、比较、猜想、构造及证明，发现了规律，使学生体会到发现和解决问题的重要方法，尝到了探索成功的喜悦。

（四）例、习题课的探究性课外作业

教师在例、习题教学时，要在能进行基本训练的同时，侧重选编一些带有发现和探究性的问题，如注意选编具有探索性的问题，以培养学生的发散思维。

以浙教版数学七年级上册的 “整式的加减”中的习题的教学为例。

课前探究：按下图方式摆放餐桌和椅子：

图1

图2

图3

（1）1张餐桌可坐______人，2张餐桌可坐______人。3张餐桌可坐______人。（弄清题意，寻求突破）

（2）n张餐桌可坐______人。（探究）

课后探究：按下图方式摆放餐桌和椅子：

图1

图2

图3

（1）1张餐桌可坐________人，2张餐桌可坐________人。3张餐桌可坐________人（弄清题意，寻求突破）

（2）n张餐桌可坐_____人（探究）

（3）一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成____张大桌子，共可坐___人；这40张桌子怎么样放置坐人最多（画图），可坐人；怎么样放置坐人最少（画图），可坐__人。（知识拓展）

在原命题结论不变的前提下，把原命题的条件进行引申或外延，能变化成别具一格的题目。同时有些几何图形随着图形的变化，其解法不变而结果变化等。

（五）解决实际问题课的探究性课外作业

课前探究：以浙教版数七年级上的“问题解决的基本步骤”中的教学为例。

2012年以来，我市用电价格分为两种：

第一种：每天早晨8时到22时共14小时称为“峰段”每度电0.568元，每天22时到第二天8时称为“谷段”每度电0.288元。

第二种：不分时间段，每度都为0.508元。（创设现实生活的问题情景，增加感性体验）

（1）回家后问一问你家今年本月总共用了多少度电？电费为多少元？（解决实际问题往往转化为数学问题）

（2）算一算你家本月电费共用去了多少元？（猜想问题、解决问题）

（3）你认为你家在哪些地方还可以再节省用电量？每月可节省多少度电？节省多少元？（提出见解）

课后探究：如果我市有12万户像你家一样节省电，一个月可节省多少度电？节省多少元钱？全国有4亿个家庭一个月可节省多少度电？节省多少元钱？一年呢？（数学来源于生活，又服务于生活）

在探索论证中，学生获得了亲自参与探究数学问题的体验，小组讨论，使问题逐步清晰，正确的认识得到深化。

（六）复习课的探究性课外作业

课前探究：（1）小组合作总结本章新学习的知识？你们能用一张图把这些知识表示出来吗？并在新知识后总结一下我们用了什么方法来解决的？

（2）通过本章（册）的学习你有哪些收获？还有哪些困难？

（3）你能根据本章中每一个新知识点（尽可能与你的生活有关）编一份这一章的练习题吗？

课后探究：一题多解题（略）

（七）课题学习课的探究性课外作业

课前探究：以浙教版九年级上册的课题学习“有关正多边形的折纸”的教学为例。

（1）只用一张长方形的纸片你能折出一个正方形吗？（逆向思维）

（2）小组比赛用一个正方形纸片折出一个正三角形，看哪组又快又准确？（操作、探究、寻求突破）

课后探究：（1）能用一张正三角形的纸片折出一个正六边形吗？

（2）能用一张正方形的纸片折出一个正八边形吗？（实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能）

三、探究性课外作业的实效功能

通过探究性课外作业练习后我发现学生学会了自主探究，拥有了创新意识，能以主体的姿态带着探究的精神自主地参与学习过程，以尝试发现、实践体验、独立探究、合作讨论等形式探索知识，思维得到了发展，学习能力得到了提高。改变了学生的学习方式，学会了创新学习。课外探究性作业使学生受益匪浅。

（一）增强了自信心，激发了探究欲望

我现在上课时经常有惊喜；经常会发现学生的闪光点，经常会被学生的问题难住；学生能独立自主地学习，并在学习过程中不断运用和完善所学知识，增强自信心，通过探究性课外作业，在教材内容和学生的求知心理之间制造一种“不协调”，把学生引入一种与问题有关的情境的过程。通过问题情境的创设，使学生明确探究目标，给思维以方向；同时产生强烈的探究欲望，给思维以动力。

图1：张同学（平时成绩中下）

图2：李同学（平时成绩中下）

图3：梅同学（平时成绩中等）

图4：陈同学（平时成绩中等）

图5：黄同学（平时成绩较好）

图6：陆同学（平时成绩较好）

开放性的问题——解题思路灵活多样和解题策略的多样化，能激发学生的探究欲望，提出智力挑战。如浙教版数学九年级下册“相似三角形”课外探究题，已知△ABC（如图）∠C＝120°，AC=BC，请设不同的分法，(看谁设计得多)将△ABC分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形，请画出分割线段。（注：不同分法是指只要有一条分割线段位置不同，就认为是不同的分法）。刚开始时担心后面学生万一分不出来怎么办？结果情况比预测的好很多，大多数学生都完成了任务，还有部分学生超过了4种。学生共想出多种好方法（列举其中不同层次学生的其中六种作图）。

让我没想到的是，有一位平时成绩很差的学生却说：“这有什么难的，找到直角三角形和等腰三角形就行了”。这一下真是语惊四座。显然，这种教学形式给学生创设富有吸引力的问题情境，更能激发学生强烈的探究欲望。

（二）拓宽了探索空间，激发了自主探究意识

新课程标准中明确提出：“有意义的数学学习必须建立在学生主观愿望和知识经验的基础上，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆。动手实践，自主探索，交流反思是学生学习数学的重要方式。”因此数学教学应改变以往的教学方式，教师应拓宽探索空间，激发自主探究，从而发展学生的探索与创新意识。知识的学习过程，不仅是主动参与的学习过程，更是创造过程。学生在这个探索空间里，不仅是发现者、探索者，更是创造者。探究性的课外作业就是让学生从书本回到生活，从课堂回到现实，把知识和实践真正地结合起来。探究性课外作业增加了现实情景，把学生的目光引向家庭、社会和大自然。让学生感受身边的数学，同时让学生注重问题解决、注重数学应用、注重数学交流、注重数学思想方法（试验、猜想、模型化、合理推测、系统分析）和注重培养自己良好的态度情感与自信心，这就要用科学的视角去洞察生活中的数学，参与实践，去感受真实的数学，让学生感到数学就在我们身边。把课堂中学到的“是什么”“怎么样”直接运用到生活中的许多的“为什么”“怎么办”中去，从而实现“从数学到生活，从生活走向数学，从数学走向社会”这一课改要求。

（三）敢于联想，敢于创新，潜能得到了开发

曾听一位名人说过：“中国的课堂教学都是把一个个问号教成句号，而外国的教学是把一个个句号教学成一个又一个新的问号。”我们也深知：发现问题是思维的起点，解决问题是思维的归宿。然而发现问题比解决问题更重要、更有价值。发现问题往往是开辟科学新领域，进行新的创造发明的前奏。因此在数学教学中应敢于联想、敢于创新。如一个面积为8的正方形和一个面积为2的正方形的边长是什么关系？一个面积为2的正方形和一个面积为的正方形的边长又是什么关系？，这样通过学生自己质疑、猜想、讨论、成功释疑，不但学生知识掌握得更牢固，而且又保护了学生的创新积极性，使学生的自主探究和创新意识得到了充分的发展。自己来研究验证，这时学生的思维引起冲突，从而主动、积极地投入思考进行探究，并学会创新。

（四）发展了个性品质，创造力得到拓展得到延伸

引发创新意识，学生创造性思维过程实质上就是个性的体现过程。良好的个性品质是学生学习的重要保障，是学生素质不可缺少的组成部分。一切教学过程，要从学生的个性出发，培养学生的独立人格，发展学生的个性才能，以培养学生良好的个性品质。如教学“边长为1的正方形的对角线到底等于多少我把学生分成几组，有意识地让学生计算到底有多少位？学生计算时发现总是找不完，而且各位上的数字又没有规律，于是心里充满了好奇、疑问。于是学生会去找资料，这样探究性课外作业，使学生充分的动手、动口、动脑，不但增强了学生的学习兴趣，让学生更为自觉地、主动地获取知识，而且通过小组交流，使学生的潜能得到了充分挖掘，个性得到了充分发展，教学中充满活力和创造力。

如在设计实数加法运算时，我设计了一道探究性课外作业：计算，并要求学生回答问题：“这与我们以前学过的什么运算相似？你能叙述这个法则吗？”学生的自主探究的欲望又引起了新的思考高潮，从而培养学生思维的深刻性、创造性。

在探究性课外作业的练习中发现，每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能，关键是要提供好的素材；学生都有一种与生俱来地把自己当成探索者、研究者、发现者的本能，特别是当自己的观点与集体不一致时，才会产生要证实自己思想的欲望，特别是学生有了在学习过程中不断获得成功的体验时，他们的欲望更强烈。通过充满探索、思考和合作的学习过程，必将培养学生的自信心、责任感、求实态度、科学精神、创新意识和实践能力。

探究性课外作业是教师教学的重要辅助手段，是提高学生创新能力的有效载体，是新课程教学中不可缺少的环节，它的设计必须坚持以生为本的原则，努力根据不同的课型度身定做，才能收到事半功倍的效果。

[1]张敏.探究性学习在数学基本题教学中的应用[J].中学生数理化：教与学，2012(1).

[2]谭远华.初中数学探究性学习活动的一个案例[J].上海中学数学，2005(4).

[3]张芝.探究性学习让数学课堂充满活力[J].数理化学习，2011(12).