数学建模在极限和微积分中的应用研究

郭莹，王兵

(枣庄学院数学与统计学院，山东枣庄277160)

数学建模在极限和微积分中的应用研究

郭莹，王兵

(枣庄学院数学与统计学院，山东枣庄277160)

本文讨论了数学建模在极限和微积分中的应用，并通过教学案例讨论了如何将数学建模应用到某些概念及定理的学习中.

数学建模;教学案例;极限和微积分①

0 引言

现代大学教育的关键是培养创新人才，而大学的数学教育在整个大学教育，乃至在人才的培养中都起着重要的奠基作用［1］.传统的数学教学方法最主要的问题就是理论联系实际不够密切，数学建模课程的开设成为当前高等院校数学教学改革的突破口，同时在日常的大学数学课程教学中，如何融入数学建模的思想方法也已成为数学教学改革的趋势.非数学专业开设的大学数学类课程包括高等数学(微积分)、线性代数和概率统计，课程的理论性较强，概念和定理比较抽象，学生对此类课程的学习没有兴趣和动力［2］.而数学建模问题来源于现实生活，在教学过程中根据数学知识建立适当的数学模型，不仅能引起学生的学习兴趣，也培养了学生解决实际问题的能力［3］.

1 在极限中的应用研究

重要的极限公式:

利用讲解应用题:“设当年我国人口总数为Τ0，年平均增长率为r，试求n年后我国人口总数?”来学生体会这个重要极限在实际中的应用.假设人口的增长是一年增长一次，则n年后人口总数Τ=Τ0(1+r)n.显然这种假设与实际不相符，因为实际中人口是每时每刻都在变化的，为此不妨假设单位时间内人口的增长率相同，把一年分成m个时间单位，则单位时间内人口的平均增长率为，在n年后即mn个时间单位后人口总数将Τ= Τ0(1+)mn，当时间单位取得非常小以至于趋于0时，即m→∞时，所求n年后人口总数为

如取r=0.025，n=28则Τ≈2Τ0，即若我国年平均增长率为2.5%时，28年后我国人口就将翻一番，从而在理论上说明我国必须采取计划生育的重要性和必要性.

2 在微积分中的应用研究

在微积分知识的综合运用中，通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表(即罐内油位高度与储油量的对应关系)进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况.许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化(以下称为变位)，从而导致罐容表发生改变.按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定.图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体.为了解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，请首先求出该几何体的体积.罐体无变位时液体容积的计算如下，满足椭圆的方程

则椭圆上的点的坐标为(x，y)油罐侧面椭圆的长半轴a=0.98，短半轴b=0.6，油面高为h，当油面高为h时椭圆面的面积s为公式(4)，其中V=s*l，其中l为罐体的长度.

图1 储油罐形状示意图

图2 罐体纵向截面图

表1 理论存油量与实际存油量取样表

表1给出在无变位条件下，选择其中一部分液面高度得到的理论存油量，并给出了误差分析.在罐体变位后给液体的容积计算带来诸多不便，采用积分的方法进行了计算.假设灌不动、油动，即油面发生倾斜，其中l=h-xtan(α).建立直角坐标系.在原容器中，EF的截面为椭圆的一部分，在以该椭圆的短轴，长轴建立坐标系，可得方程:

则该椭圆的面积为

图3 直角坐标系下的罐体纵向截面图

图4 以椭圆的短轴、长轴建立的坐标系

3 总结

高等数学中的概念及定理比较抽象，学习过程也是非常枯燥的，如果学生不了解概念定理相关知识的来龙去脉，通过死记硬背是理解不了的.在进行教学时，可以将概念或定理的结论作为需要解决的问题，整个概念或定理是一个特定的模型，条件看作模型的假设，根据其实际应用引导学生得出结论.这样学生不但能够学到知识，也体验到探索、发现的过程，对理论的了解也更为深刻.

［1］韩中庚.数学建模方法及其应用［M］.北京:高等教育出版社，2009.

［2］卢军，张兵权.基于数学建模的数学主干课程教学改革研究［J］.高等理科教育，2011(4):114-116.

［3］侯嫚丹.数学建模思想融入概率论与数理统计的研究［J］.高师理科学刊，2013，(33):76-79.

［责任编辑:闫昕］

Study on the Application of Mathematical Modeling in the Limit and Calculus

GUO Ying，WANG Bing
(Department of Mathematics and Statistics，Zaozhuang University，Zaozhuang 277160，China)

This paper discusses the application of mathematical modeling in the limit and calculus，and through the case teaching and discusses how to apply mathematical modeling to some concepts and theorems of learning to go.

mathematical modeling;teaching cases;limit and calculus

G642.0

A

1004-7077(2015)02-0064-03

2015-01-10

郭莹(1981-)，女，山东滕州人，枣庄学院数学与统计学院讲师，理学硕士，主要从事计算数学、数学教育研究.