考虑顾客不耐烦情绪的生产系统订金及产率决策研究

方 曦

（上海应用技术学院，上海 200235）

0 引言

在面向库存的生产系统研究中，很少考虑人的因素对系统的影响。本文在生产系统中引入了人的不耐烦特性以及考虑经济损失风险特点，来探讨一个收取定金，具有可变速率的生产系统中的决策问题。

人的不耐烦特性使得系统中的顾客到达后会出现止步和中途退出两种行为，从而影响最终的产品需求。收取定金在一定程度上能够减少顾客的中途离开行为，但是也不可避免的加剧了顾客的止步行为。近年来，众多国内外学者在服务系统的设计中，考虑了顾客的不耐烦性[1～7]。

定金决策涉及到加剧顾客止步和减轻顾客中途离开之间的平衡，可变速率转换点决策涉及到增加生产成本和提高顾客订单收益之间的平衡，两者的决策需要依据系统的性能评估进行。本研究首先探讨了行为建模的方式；其次，依据行为模型，将生产系统模拟为一个组装系统，采用马尔科夫方法获得了系统的稳态解，并获得了系统的重要性能指标，如产率、平均库存等。最后，通过系统的性能评估以及经济效益最大化原则，获得系统的优化决策方案。

1 基本假设及问题描述

对于本文研究的生产系统，做以下假设：

①假设系统只有单一生产线，且其采取产率可变的生产策略。具体而言，当订单低于某N*数值时，采用较低的生产率λp；当累计未处理订单数高于N*时，采用较高的生产率。较高产率可以通过外包等方式获得，其成本较高。

①顾客以泊松分布到达生产系统，到达速率为λd，假设每个顾客只订购一个产品。

②顾客决定订购产品需要首先付出一定的定金S，如果顾客等待过程中途取消订单，定金不返回。

③顾客具有不耐烦的行为特点，其到达系统后，将评估系统中订单的数量以及定金的要求，并以与两者相关的一定概率进入系统；顾客进入系统后，如果等待的时间过长，将取消订单。

④定金的数量和生产产率的变化点是系统面临的两个重要决策。一方面，如果定金过高，可能会使得顾客直接离开的人数过多，损失订单；另一方面，如果定金过低，则起不到避免顾客排队中途离开的目的。对于生产产率变化而言，过早的进行产率的变化，则成本过高，过晚的产率变化又会使得系统中订单队列过长，而损失顾客。因此，定金数量和生产产率变化点需要在考虑经济效益的情况下，进行平衡研究。

2 考虑订金和顾客不耐烦性的顾客行为建模

2.1 顾客行为

如前文所述，本研究假设顾客是有情感的，其对于等待的时间敏感，具有不耐烦性，并且顾客在决策中将考虑失去定金的风险。顾客的行为表现主要体现在两个方面，即顾客止步行为以及顾客中途退出行为。

（1）顾客止步行为

顾客止步行为指顾客到达系统后，考虑到系统的订单队列过长，等待时间过长，或者定金过高，而直接采取不进行订货的行为。假设顾客止步受定金的影响因子为z，则顾客的止步概率可以描述为：

定金风险形成的止步与定金数量有关，也与定金返还的可能时间长短有关。对于一个固定的订单队列长度n,止步概率应该随着S增加而增加；对于一个固定的定金，定金返还的可能时间随n的增加而增加，从而止步概率增加。假设f(S，n)为Pr(定金风险造成止步)，本文假设：

S(1+δ)n表示顾客考虑时间因素的定金价值，其中n为订单队列长度,δ为敏感性参数。S*为顾客可接受的定金最大值。α＞1为敏感性参数。

队列过长形成的止步受到订单长度的影响，该概率为订单长度n的凹函数。本文采取Perel and Yechiali[8]提出的概率函数

其中 0＜r＜1。

综合以上因素，顾客进入系统的速率为：

（2）顾客退出行为

顾客下订单之后，如果等待时间过长，仍然会离开系统，这种行为称为顾客中途退出行为。一般假设顾客等待时间超过忍耐的上限值T，则顾客退出系统。因为顾客的异质性，假设T为均值为1θ的指数分布。考虑到本研究顾客已经付出了定金，顾客的退出概率将降低。另g(S)为顾客等待时间已经超过T后，顾客的离开概率：

其中0＜β＜1

因为顾客之间是彼此独立的，因此，顾客的中途退出概率可以表示为：

2.2 考虑顾客行为的生产系统马尔科夫模型

本文研究的生产系统是一个只包含一个生产线的面向库存生产的系统。生产速率为指数分布形式，当系统中订单的数量小于N*时，产率为λp，反之，为λp'。如上文所讲，考虑到顾客的行为特点，系统的到达速率为λ'd(n)（公式（4））中途离速率为μe(n)（公式（6））。

根据以上分析，本研究把该系统构建成一个虚拟的组装系统，并通过马尔科夫模型对系统进行分析。虚拟的组装系统中有两类零件被组装，其中一种为原来系统中的产品，另一种为原来系统中的订单，如图1所示。产品以λp或λp'（取决于订单数量）到达系统，订单以λ'd(n)到达系统，且订单中途离开的速率为μe(n)。产品储存在库存Bp中，订单储存在订单库存Bo中。一旦产品和订单同时存在，则被设备M组装，假设组装时间为0。因此，产品在Bp和订单在Bo中不会同时存在。

图1 虚拟组装线

令Np(t)为Bp中的产品数，No(t)为Bo中的订单数，则X={Np(t)，No(t)，t≥0} 形成马尔科夫链，其空间为{0，No}∪{Np，0},其中No={0，1，2，3，...}，Np={0，1，2，3，...，C}，C为产品库存存储上限。则转移率为：

转移图为：

图2 状态转移速率图

从转移图中，可以看出该马尔科夫过程是一个生灭过程，根据生灭过程的稳态概率求解公式，可得到系统平稳概率如下：

令Ep为平均库存值，Eo为平均订单数，则

如果产品库存不为0，所有的订单都能被瞬时满足，产率等于需求到达率λd，如果订单库存不为0，则系统的产率由生产速率决定，为λp或λp'(取决于订单队列长度).因此，系统的产率TH可以表达为：

考虑到系统中顾客的止步概率为(zf(S，j)+(1-z)(1-rj))λd,平均止步率B.R为

平均退出率R.R为：

平均损失率为两者之和：

系统处于低产率的概率为

系统处于高产率的概率为：

3 以经济成本优化为目标的定金及产率决策分析

考虑到定金和产率决策涉及到多种因素，采用经济成本优化的方法来确定合理的定金及产率决策。

做如下符号定义：

R单位产品收益值；

h每个产品的库存成本；

b单位产品缺货成本；

c单位产品排队成本；

a1低速率加工生产成本；

a2高速率加工生产成本；

该系统的订单收益为TH*R，定金收益为S*R.R.，库存成本h*Ep，缺货成本b*L.R，等待成本为c*Eo，生产成本为a1×Prob1+a2×Prob2。

因此，系统的净收益NP为

系统的定金和产率转换点决策即找到使净收益NP最大的S和N*。由于系统的目标函数较为复杂，呈现非线性，可以采用列举法，遗传算法，禁忌搜索等算法来获得优化的决策点。

本文给出一个采取简单的列举法来获得优化决策的算例。

假设C=15,λd=0.9,λp=0.3,λ'p=1,z=0.1,S*=10,δ=0.01,α=1.5,γ=0.97,β=0.8,θ=1/50,R=30,a2=26,a1=5,b=0.5,h=1，c=0.1,令S S*从0增加到80%，N*从1增加到20。采用本文提出的马尔科夫法获得系统的性能参数，并计算所有(N*,S S*)组合的净收益NP。图3显示了该案例的计算结果。在所有的组合中，最大的净收益为3.028，优化的定金为S S*=38%，速率转换点为N*=4。

图3 不同的S S*与N*组合的净收益NP

4 结论

本文研究了考虑顾客不耐烦行为的生产系统中的定金决策和可变速率决策问题。文中给出了顾客行为建模的方法。基于顾客的行为模型，本文构建了虚拟的组装系统来描述系统的状态，并采用马尔科夫方法获得了系统的性能指标。这些性能指标被用于进行经济效能分析，从而获得系统的最优定金决策和可变速率决策。探讨更为精确的顾客行为模型，以及具有批量订单到达的生产系统等问题，可以作为进一步的研究方向。

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