多元函数中值得关注的几个意识

张 捷

（江苏省常州市第一中学）

张 捷

（江苏省常州市第一中学）

多元函数是近几年各地模拟考试的热点，2014 年和2015 年高考中多次出现此类题目，常常涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多知识，这些问题字母多、式子繁、难度大、综合性强，很多学生感到无从下手，是教学的一个难点.解决此类问题的策略中蕴涵了丰富的数学思想和方法，只要把握整体思维思想、利用消元降次、数形结合等解题方法，许多问题往往会迎刃而解.笔者以为应注重培养和渗透的多种解题意识，举例说明以期抛砖引玉.

一、灵活使用判别式法，培养等式转化为方程意识

例1.（2014 高考浙江卷文第16 题）已知实数a、b、c 满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a 的最大值为_______.

解题分析：因为a+b+c=0，所以，c=-（a+b），代入a2+b2+［-（a+b）2］=1，

即2a2+2ab+2b2-1=0，将等式视为关于的二次方程有解，只需Δ≥0，

即Δ=4a2-8（2a2-1）≥0，解得-≤a≤，则a 的最大值为

如果通过代换及题中关系式可得到一个关于某个变量的一元二次方程，利用二次方程有解判别式非负可以将问题解决.

二、利用等式消元，培养等式限元意识

例2.（江苏省南京师大附中2015 届高三最后一卷）设实数a，x，y，满足，则xy 的取值范围是 .

解答多元函数问题困难的根本原因在于它的多元，因此化多元函数为一元函数是解决多元函数问题的重要途径之一，消元法本质上是数学中转化与化归思想的一种体现. 在平时解答多元函数问题时消元前后的表达式不等价，主要原因是忽视表达式自身的限制和相关等式之间的制约，消元需要“去得明白”，这是实现学生思维逻辑提升的重要所在.

三、利用基本不等式性质，培养不等式放缩意识

例3（.常州市第一中学2015 届高三模拟试卷）设二次函数（fx）=ax2-4bx+c 对于做任意的x∈R，恒有（fx）≥0，且f ′（x）满足f′（0）＜0，则的最大值 .

本题在一个新的环境下考查利用基本不等式求最值，解题的关键是根据已知条件消掉目标式中的多元，通过对目标式的变形，使用基本不等式转化为考生所熟悉的求最值的题型；连续使用同向不等式时要关注不等号方向，保证等号条件的一致性.

四、利用整体处理，培养换元意识

例4.（2014 南通一模）设实数a，b，c 满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c 的取值范围.

解题分析：由a2+b2≤c≤1 得a2+b2≤1，可将其视为以原点为圆心1 为半径的圆周及其圆内部，可以假设为其中r∈均为参数，代入a+b+c≥a+b+a2+b2≥r2+r（cosθ+sinθ）≥r2-

本例解法在引元消元时，注意到原有自变量都不合适，另外引进变量后则豁然开朗，使问题易于解决.在此特别提醒注意引元范围，引入变元范围没有得到限制是一个易错点，它的范围是由原表达式中变量的范围影响的，引入变元要需要“来得清楚”.

五、利用多组不等条件，培养线性规划意识

例5（.常州市第一中学2015 届高三模拟试卷）已知△ABC，设实数a，b，c 满足b+2c≤3a 且c+2a≤3b，则的取值范围为.

解析：题目的解题条件除了两个不等式外，还隐含有三角形成立的条件，这些不等式放在一起构成该题的控制条件，为线性规划提供了可能.

（略）所示可得：

与线性规划思想有关的问题，近几年高考试卷中频频出现，纵观各地的模拟考试试题，线性规划方法出现了一些新的变化.从“确定线性可行域”“求解线性目标函数最值”的基本问题，向确定其中待定的参数值或范围”转变，呈现形式常常与多元函数有关，加大题目的难度.