Hom-双代数的若干性质

2015-02-27 16:39杨占英刘红江
新乡学院学报 2015年12期
关键词:同态同构等价

杨占英,刘红江

(1.中南民族大学数学系,武汉430074;2.河南化工职业学院公共课教学部,郑州450042)

双代数是Hopf代数中的一个重要概念,许多学者对双代数的概念和理论进行了广泛的研究,并且做了各种形式的推广[1-2]。 Abdenacer Makhlouf和 Sergei Silvestrov给出了 Hom-双代数的概念[3]。 Donald Yau 给出了拟三角Hom-双代数的概念,讨论了它们的一些性质[4],并给出了李双代数的一个等价条件[5]。 在此基础上,我们把双代数的一些性质和文献[5]中的结论推广到Hom-双代数,得到了Hom-双代数的反对极和拟三角结构,并得出了两个Hom-双代数同构的一个等价条件。

1 预备知识

定义 1[3]:称七元组 (V ,μ, α, η, Δ, β, ε)为一个Hom-双代数,是指该七元组满足以下条件:(1) ( V ,μ, α, η) 是一个带有单位元 η 的Hom-结合代数;(2) ( V , Δ, β , ε) 是 一个带有余单位 ε 的Hom-余结合余代数;(3)线性映 射 Δ、 ε、 μ是相容 的,即Δ(e1) = e1⊗ e1,e1=η (1 ), ε( μ( x ⊗ y ) ) = ε( x) ε (y),ε( e1) = 1 , Δ( μ( x ⊗ y ) ) = Δ ( x ) Δ(y )= μ ( x1⊗y1)⊗μ( x2⊗y2)。

定义 2[4]:称七元组 ( A, μ, Δ, η, α,c, R)为一个拟三角Hom-双代数,是指该七元组满足如下条件:(1) ( A, μ, Δ, α, c )是一个有弱单位元 c 的Hom-双代数;(2) R ∈A⊗A, R12=R⊗c , R23=c⊗R,R13=(τ⊗id)(R23),(Δ ⊗α) ( R) = R13R23,(τ ◦ Δ(x)) R=RΔ(x)。

在本文中,我们假设 k 是一个域,所有代数、余代数、向量空间、张量积和线性映射都是定义在域 k 上的。在以下的证明和推导中,我们采用文献[1]的余乘符号,即对于余代数 C 及任意的 c ∈C,记 Δ ( c ) = ∑ c1⊗c2,其中 c1和 c2∈C 。 在下文中,常常省略和号,记作Δ( c )= c1⊗ c2。 设 V 和 W 是 两个向量空间,τ:V⊗W→W⊗V 是 一个k -线性映射,记τ (v ⊗ w )=w ⊗ v,其中v∈V,w ∈W。

2 主要结论

下面我们讨论Hom-双代数的反对极和拟三角结构,并给出Hom-双代数同构的等价条件。

命题1:设 ( V ,μ, α, η, Δ, β, ε, S)是带有反对极S的Hom-Hopf代数,则有S ◦α(x y ) = S ◦α ( y) S ◦α(x)和 Δ◦(α ◦ S ) = τ ◦(α ◦ S ⊗ α ◦ S )◦ Δ成立。

证明:因为S ◦α(x y ) = S ◦α( x1y1) ε(x2)ε(y2)=S ◦α(x1y1) ε( y2) x21S ( x22) = S ◦α(x1y1) ε(y2) x2S ( x3)=S ◦α(x1y1) x2y2S ( y3) S( x3) = S ◦α(x11y11) x12y12S ( y2)S( x2) = S ◦ α((x1y1)1) (x1y1)2S ◦ α ( y2) S ◦ α(x2) = ε(x1y1)S ◦ α(y2) S ◦ α ( x2) = S ◦ α(y) S ◦ α(x),所以有S◦α( x y)= S ◦ α ( y ) S ◦ α(x)成立。

因为Δ◦(α ◦ S ) (x) = Δ◦(α ◦ S ) (x2)ε( x1) = (α ◦S( x2) )1⊗ ε( x1) (α ◦ S( x2) )2=(α ◦S( x2) )1⊗S( x11) x12(α ◦S( x2))2=(α ◦S( x3) )1⊗S( x1) x2(α ◦S( x3))2=ε( x2)(α ◦ S( x4) )1⊗S( x1) x3( α ◦ S( x4) )2=S( x2) x3(α ◦S( x5) )1⊗S( x1) x4( α ◦S( x5) )2=S( x2) x31( α ◦S( x4) )1⊗S( x1) x32( α ◦S( x4) )2=S( x2)x31α ((S( x4))1) ⊗ S( x1) x32α((S( x4) )2) = S( x2) x31α ((S( x4) )1) ⊗ S( x1) x32α ((S( x4) )2)=α◦S( x2) x31( S( x4)1) ⊗ α◦S( x1) x32( S( x4) )2=α◦S( x2)(x3S ( x4) )1⊗α◦S( x1) (x3S ( x4) )2=α◦S( x2) ε(x3)⊗α◦S( x1) = α ◦ S ( x2) ⊗ α ◦ S ( x1) = τ ◦(α ◦ S ⊗ α ◦ S ) ◦ Δ(x),所以有 Δ ◦(α ◦ S ) = τ ◦(α ◦ S ⊗ α ◦ S )◦ Δ成立。

命题2:若 (H , μ, Δ, α,c, R)是一个拟余可换Hom-双代数,其中 c 是Hom-结合代数 ( H ,μ, α)的弱单位元,R ∈ H⊗H,则有下面结论成立:

1)(H , μop, Δ, α, c , R-1), ( H ,μ, Δop,α, c , R-1)和(H,μ, Δop,α, c , τ(R))也是拟余可换Hom-双代数。

2)如果 ( H , μ, Δ, α,c, R)是一个拟三角Hom-双代数,那么 ( H ,μ, Δop,α, c , τ (R))也是拟三角Hom-双代数。

证明:1)先证明 ( H ,μop, Δ, α, c , R-1)是一个Hom-双代数,即证 ( H ,μop,α) 是Hom-结合代数,(H,Δ, α)是Hom-余结合余代数,且 Δ 、 μop是相容的; 再证明Hom-双代数 ( H , μop,Δ, α, c , R-1)满足拟余可换条件。

因为 (H ,Δ, α)是Hom-结合代数,所以对任意的x 、 y 、 z ∈H , 有α ( x ) y z = xyα ( z ),α ( x y) =α( x ) α (y)。由 α ◦ μop(x ⊗ y ) = α ( y x ) = α (y ) α ( x )=μop◦(α ⊗ α ) ( x ⊗ y ) μop◦(α ⊗ μop)(x ⊗ y ⊗ z) = zyα (x)=α( z ) y x = μop◦(μop⊗ α )(x ⊗ y ⊗ z ))可知,(H,μop,α)是一个Hom-结合代数。

(H ,Δ, α)显然是Hom-余结合余代数。因为Δ( μop(x ⊗ y) ) = Δ ( y ) Δ( x ) = μop(x1⊗y1) ⊗ μop(x2⊗y2),所以 Δ 和 μop是相容的。

因为 Δop(x) = R Δ ( x ) R-1,所以在(H , μop, Δ , α ,c, R-1)中 ,拟余可换条件 Δop(x) = R-1Δ(x) R是成立的,因此 (H ,μop, Δ, α, c , R-1)是一个拟余可换的Hom-双代数。

同样可以证明 ( H , μ , Δop,α , c, R-1)和(H ,μ, Δop,α, c ,τ(R))都是拟余可换Hom-双代数。

2)由结论 1)可知, ( H,μ, Δop,α, c , τ(R))是拟余可换Hom-双代数,现在只需验证 R 满足拟三角条件。

设R = si⊗ti∈ H ⊗ H , 则由已知条件可知, R 满足 拟 三 角 条 件 , 即(α ⊗Δop)(τ( R ) ) =⊗ α (s)⊗ j α( sj) ⊗ titj,故有(α ⊗ Δop)(τ( R ) ) = titj⊗ α (sj)⊗α(si) = (τ(R ) )13( τ(R))12。 因为(α ⊗ Δ) R = R13R12=sjsi⊗ α ( ti) ⊗ α (tj),所以(Δop⊗ α)(τ( R ) ) = α (ti)⊗α(tj) ⊗ sjsi=(τ( R ) )13( τ(R))23。 综合以上证明过程,可知 ( H ,μ, Δop,α, c , τ(R))是一个拟三角Hom-双代数。

命题 3:设 (H ,μH, ηH, ΔH, εH)和(G,μG, ηG, ΔG,εG)是两个双代数,线性映射 α : H → H 和 β:G→G是双代数同态映射, β 和 β ⊗ β 是 单射,Hα=(H , μα=α ◦ μH,Δα=ΔH◦α, α),Gβ= ( G,μβ= β ◦μG, Δβ= ΔG◦β, β), 则以下两个结论是等价的:1)Hom-双代数 Hα和 Hom-双代数 Gβ同构;2)存在一个双代数同构 r : H →G , 使得 rα =βr。

证明:由结论2)可以得出结论1)是显然的,现在证明由结论1)可以得出结论2)。

设r: Hα→Gβ是Hom-双代数同构,则存在双射使得 rα =βr成立。

下面证明 r 是双代数同态,即 r 既是代数同态又是余代数同态。

由于 r 是Hom-结合代数同态,故有μβ◦(r ⊗r)= r ⊗ μα, r α=β r , 因 而 , 对 任 意 的 x 、 y∈H,有μβ(r ⊗ r)( x ⊗ y) = β ◦ μG( r( x) ⊗ r ( y) ) = β(r( x) r( y ))rμα(x ⊗ y) = r α μH(x ⊗ y) = r α ( x y) = β r( x y)。又由于 β 是单射,故有 r ( x y) = r( x) r( y),即 r 是代数同态。

因为 r 是Hom-余结合余代数同态,所以有Δβ◦r = ( r ⊗ r )◦Δα, r α=β r , 故有(β ⊗ β ) (r ⊗r)◦ΔH(x) = (β r ⊗ β r ) ◦ ΔH(x) = (r α ⊗ r α ) ◦ ΔH(x )=(r ⊗ r ) (α ⊗ α ) ◦ ΔH( x) = (r ⊗ r ) ◦ Δα( x) = Δβ◦r( x)== (β ⊗ β ) ◦ ΔG◦r ( x )。 又因为 β ⊗ β 是单射,所以(r ⊗ r) ◦ ΔH( x) = ΔG◦r ( x ),即 r 是余代数同态。

综上所述,可知存在一个双代数同构 r : H→G,使得 rα =βr。

[1] SWEEDLER M E.Hopf Algebras[M].New York:Benjamin,1969:1-48.

[2] KASSEL C.Quantum Groups[M].New York:Springer-Verlag,1995:368-381.

[3] MAKHLOUF A,SILVESTROV S D.Hom-algebras and Hom-coalgebras[J].Journal of Algebra and Its Applications,2010,9(4):553-589.

[4] YAU D.Hom-quantum Groups I:Quasi-triangular Hombialgebras[J].Journal of Physics A:Mathematical and Theoretical,2009,45(6):1-21.

[5] YAU D.The Classical Hom-Yang-Baxter Equation and Hom-Lie Bialgebras[J].MathematicalPhysics,2009,5(12):1-22.

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