导数在高中数学教学中的应用探索

董世壮（辽宁师范大学　数学学院　2014级教育硕士　大连市金州高级中学，辽宁大连　116100）

导数在高中数学教学中的应用探索

董世壮
（辽宁师范大学数学学院2014级教育硕士大连市金州高级中学，辽宁大连116100）

导数是解决高中数学的有力工具，不仅体现了数学的重要思想，还为学生解决问题，特别是实际问题，提供了有效的工具。考虑到导数在理解中存在一定的难度，因此，在教学中，需要结合实例，进行充分解析，才可以让学生更容易掌握。

导数高中数学教学应用

导数在数学中的地位越来越突出，其作为数学解题当中重要的辅助工具受到了数学教师的广泛的关注，其已经逐渐的成为数学解题当中不可缺少的工具。当前对于学生使用综合的知识解决问题的能力考察逐渐的加强，所以在教学的过程中培养学生使用导数知识解决相应的数学问题已经成为一个教学中重要的组成部分。

一、导数在解析几何中的应用

在高中数学教学中，对于解析几何的问题利用导数进行解题时，首先应该理解导数的几何意义，然后注意判断点M（x0，y0）与已知曲线的位置关系，这样在解题时就能够快速准确的解出问题，如例1所示：已知曲线y=f（x），求曲线在点M（x0，y0）的切线方程。针对这道题目在采用导数解题时，首先应该求出导数f′（x），然后将x-x0代入导数f′（x），为k=f′（x0），最后就能够方便的算出曲线y=f（x），在点M（x0，y0）处的切线方程。

二、用导数判断函数的单调性

例：求函数y=x3-3x2-1的单调区间。

分析：求出导数y′，令y′＞0或y′＜0，解出x的取值范围即可。

解：y′=3x2-6x，由y′＞0得3x2-6x＞0，解得x＜0或x＞2。

由y′＜0得3x2-6x＜0，解得0＜x＜2。

故所求单调增区间为 （-∞，0） ∪（2，+∞），单调减区间为（0，2）。

方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f （x）的定义域；（2）求导数f′（x）；（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；（4）确定f（x）的单调区间。若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。

三、导数在不等式中的应用

在高中数学教学中导数在解不等式问题时应用最多的就是不等式证明题。在不等式证明题解题的过程中，通过运用导数进行构造函数可以对整个函数判断单调性，最终能够证明整个不等式。下面我们通过具体的例题进行分析导数在不等式证明题中的应用：已知函数

f（x）=xlnx（0＜a＜b），证明：0＜f（a）+f（b） -2f［（a+b）/2］。

解析：在解题前，当我们看到题目时会感觉一头雾水，不知道应该从何下手，但是如果我们能够运用导数进行解题，则会达到事半功倍的效果。在运用导数解题时，首先应该明确导数的单调区间，然后进行判断ab值的范围，进而能够通过分析证明你明不等式。

解题：

将f（x）=xlnx（0＜a＜b）进行求导可以得出：f′（x）=lnx+1，假如设

A（x）=f（x）-2f（x+a/2），则

A′（x）=f′（x）-2f′（a+x/2）=lnx-ln（a+x/2）

当0＜x＜a时，则A′（x）＜0，因此我们可以得知A（x）在（0，a）的区间上为减函数。当x＞a时，A′（x）＞0，则可以得知A（x）在（a，+∞）上为增函数，最终可以判断出当x=a时，b＞a时，b＞a，所以可以得出，A（b）＞0即0＜f（a）+f（b）-2f（a+b）/2成立。

四、导数在函数中的应用

1.导数在判断单调性中的应用

在高中数学解题时，运用导数能够求出可导函数的单调区间，其实质就如同解不等式f′（x）＞0或者f′（x）＜0在区间的端点上有意义，则也可以写成闭区间的形式，具体的解题思路及方法如下例题所示：例：分析函数f（x）=x3-3x在哪个区间为增函数，在哪个区间为减函数？

分析：在进行判断函数单调性时，首先可以对函数f（x）进行求导让，求解出不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0的解，从而可以得到f′（x）＞0的解为单调增函数区间，而f′（x）＜0的解为单调减函数区间。

解题：由题目可以得知，f（x）=x3-3x，所以f′（x）=3x2-3=3 （x-1） （x+1），设f′（x）＞0，则可以得出x＜1或者x＞1，因此可以得出单调增区间为（1，+∞）和（-∞，-1）。然后设f′（x）＜0，则可以得出-1＜x＜1，所以可以得出f（x）的单调减区间为（-1，1）2.导数在求解极值中的应用

在高中数学教学中，极值是高中函数教学中的难点也是重点，其涉及到中学数学知识各个方面的运用。在解析函数最值问题时导数的应用不仅能够简化解题过程，而且步骤简单，容易掌握。一般情况下，如果函数f（x）在闭区间［a，b］上可导，则f（x）在闭区间［a，b］上的最值求法分为两步就能够完成：第一步：求出函数f（x）在（a，b）上的驻点，第二步：计算f（x）在驻点和端点的函数值，然后进行比较可以得知，最小的为函数的最小值，最大的为函数的最大值。这种方法还可以运用到函数图像中，因为在画函数图像时也要求出函数的极值，运用导数能够轻松的进行解题。

二、在导数教学中需要注意的问题

在导数的教学过程中，要把握其教学的要求，为了使教学的效率得到有效的提高，可以在每一个知识点的教学当中，抓住其教学的重点。在导数的概念当中，在其学习的过程中要注重其实际背景的侧重点，使用相应的光滑曲线的切线斜率作为相应的辅助材料。对于导数的公式和两个函数之间的和、差、积、商的求导的法则，不需要经过补充和证明，但是要熟悉的记住相应的法则和公式，最主要的是让学生能够正确的使用导数进行相应的数学题的求解，避免在求解过程中使用比较复杂的方法进行相应的求解过程，把简单的问题复杂化。在进行相应的复合函数的导数学习的时候，要准确的掌握其计算的法则，这此过程的学习中教师要掌握好练习题的难度。在导数应用的部分，要学生们重点的掌握简单函数的极值和相应单调区间的方法，结合相应的函数的图像，利用直观的方式让学生理解相应的函数的极值和相应的导数之间的关系。在相应的知识学习的时候，要注意知识的连续性，要全面的了解知识的结构构架，要注重和其他知识之间的关联性，注重知识的综合性的学习。

总结

在高中数学教学中运用导数解题时，最重要的就是在理解其定义的基础上，熟练掌握其本质，进而正确运用来解决各种问题。不能单纯地只知道导数的公式及其简单的求导方法，这在解题过程中会出现本质性的错误，还会阻碍思维的扩散。只有将其内在的本质理解透彻，在解决问题时才能有正确的方法，从而能够提高灵活解题的能力。

［1］吴龙福。例析导数在高中数学题目解答中的典型性应用［J］.数学大世界，2012

［2］陈鹏。导数在函数中的应用［J］.新课程，2012