一类双重退化渗流方程解的存在性

汤林冰　，詹华税

(1.集美大学理学院,福建 厦门 361021； 2.厦门理工学院应用数学学院，福建 厦门 361024)



一类双重退化渗流方程解的存在性

汤林冰1，詹华税2

(1.集美大学理学院,福建 厦门 361021； 2.厦门理工学院应用数学学院，福建 厦门 361024)

[摘要]结合Fichera-Oleinik理论,研究一类双重退化渗流方程uspan=div(ρspanuspan)，(x,t)∈Qspan=Ω×(0,T)的可解性问题.其中Ω是Rspan中的有界区域,边界∂Ω充分光滑,ρ(x)=dist(x,∂Ω),m>1,α≥2,u0非负,u0∈Lspan(Ω),ρspan(Ω)).借助于一般粘性解的定义，给出了该渗流方程存在具有齐次边界条件的弱解的定义，并证明其存在性.

[关键词]双重退化；渗流方程;弱解;Fichera-Oleinik理论

0引言

本文研究一类双重退化渗流方程

(1)

(2)

适当光滑，有许多的成果[1-13]讨论方程(1)的可解性问题，下面给出方程的弱解定义.

定义1u是方程(1)的一个弱解,如果u∈L∞(0,T;Lm+1(Ω)),ρα/2对任意在∂Ω和t=T上为零的函数φ∈C1(QT),u满足

(3)

易知定义1等价于:1)u∈L∞(0,T;Lm+1(Ω)),ρα/2um∈L∞(0,T;L2(Ω))；2)∀满足∫QT((ραum)φ-uφt)dxdt=0；3)对所有t>0,u(t)∈L1(Ω)且.需要注意的是，其中并没有涉及到边界值问题.

退化抛物方程解的这种性质很早就被数学家们所重视，文献[14]首次研究了

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的情形,得到了以下重要结论： 若0<α

则称u是方程(1)的具有齐次边界条件的解.

本文将借鉴多孔介质方程的解的存在性证明方法，证明如下的结论：

定理1设u0非负,u0∈Lm+1(Ω),ρα/2(Ω)),α≥2,则具有初值条件(2)的方程(1)在定义1下存在具有齐次边界条件的解.

1Fichera-Oleinik理论

考虑形如

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的二阶方程,若对于任意的实向量ξ=(ξ1,ξ2,…,ξm)和任意点x∈Ω,具有条件arsξrξs≥0,就称为Ω上的具有非负特征形式的二阶方程.显然,有非负特征形式的二阶方程包含椭圆方程和抛物方程,一阶方程(arsξrξs≡0的情况),超抛物方程,Brown运动方程,在上半平面的Tricomi方程等等.

(6)

(7)

其中,f是Ω内的给定函数,而g是∑2∪∑3上的给定函数.显然,如果是椭圆型,那么式(6)、(7)就是Dirichlet问题.对于柱形区域内的抛物型问题,则组成混合问题,也称为抛物型方程的第一边值问题.称该结论为Fichera-Oleinik理论.

考虑下面方程:

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如果是弱退化的情形,即集合{(x,t)∈QT:a(u(x,t))=0}无内点的情况,其中A′(u)=a(u).此时,A-1(u)存在,令v=A-1(u),则有

(9)

那么,根据前面所述的Fichera-Oleinik理论,∑2∪∑3=∂Ω,于是式(6)、(7)得到的是一般的Dirichlet边界条件.但在强退化的情形,即集合{(x,t)∈QT:a(u(x,t))=0}有内点的情况,A-1(u)一般不存在,那么就不能将式(8)转化为式(9)的形式.此时,改写方程(8)为

(10)

如果考虑的是齐次边界条件,设a(0)=0,将它与式(5)比较,考虑其初边值问题,由式(7)知道初值条件u(x,0)=u0(x)是必须给的.但在侧边界,需要给齐次边界条件的部分是

(11)

(12)

本文考虑下面的渗流方程ut=div(ραum)=αρα-1mum-1ρ·u.

2定理1证明

构造初值逼近列u0n:令u0n=u0+1/n，对任意T>0,求问题

(13)

的解. 先考虑

(14)

(15)

最后,由un是经典解,满足以u0n代替u0时的弱解定义,令n→∞，得到关于u的弱解定义式,因此u是在定义1意义下的一个弱解.

第二步:假设u0有界且边界∂Ω上为零,将u0光滑化,再应用前面的方法得到近似解un∈C∞(QT)∩C2,1(QT∪ST),相同的方法可得解u,但此时在t=0时不一定连续(除非初值连续).

第三步:假设u0∈Lm+1(Ω),ρα/2,考虑单调增加的切割函数ζk,它在∂Ω上为0,考虑初始函数的近似列:u0k(x)=min(u0(x)ζk(x),k).由第二步,用初值u0k(x)求解问题得到唯一弱解,由比较定理得:uk+1≥uk,另一方面,由估计式知,uk在L∞((0,T);Lm+1(Ω))上一致有界.同样地,在L2(Ω)上也一致有界.因此uk的收敛极限函数u∈L∞((0,T);Lm+1(Ω)),并且在L2(Ω)中收敛于,估计式关于u成立.由此得定理1.

一般地,式(1)—(2)问题解的存在性仍然是一个公开问题.至于唯一性的研究一般要建立在存在性的基础之上.显然,本文仅是在定义2的框架下讨论了解的存在性，定义2本质上是粘性解，考虑粘性解的唯一性也是一个可以研究的问题.

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(责任编辑马建华英文审校黄振坤)

The Existence of a Kind of Double Degenerate Filtration Equation

TANG Lin-bing1,ZHAN Hua-shui2

(1．School of Science，Jimei University，Xiamen 361021，China;

2．School of Applied Mathematics，Xiamen University of Technology，Xiamen 361024，China)

Abstract:By Fichera-Oleinik theory,the paper studies solvability of the singular double degenerate filtration equation ut=div(ραum)，(x,t)∈QT=Ω×(0,T),where Ω is a bounded domain in Rspanwith appropriately smooth boundary ∂Ω,ρ(x)=dist(x,∂Ω),m>1,α≥2,u0≥0,u0∈Lspan(Ω),ρspan∈L∞(0,T;L2(Ω)).By viscous solution theory,the paper gives the definition of the weak solution to the equation with homogeneous boundary value,then proves its existence.

Key words:double degeneratcy;filtration equation;week solution;Fichera-Oleinik theory

[文献标志码]A

[中图分类号]O 175.26

[文章编号]1007-7405(2015)03-0225-05

[作者简介]汤林冰(1989—)，男，硕士生，从事偏微分方程方向研究.通信作者：詹华税(1966—)，男，教授，从事偏微分方程方向研究，E-mail：hszhan@jmu.edu.cn.

[基金项目]国家自然科学基金资助项目(11371297)；福建省自然科学基金资助项目(2015J01592,2012J01011)

[收稿日期]2014-07-23[修回日期]2014-11-07