一种适用于目标圆轨道的空间变轨迭代制导算法研究

李超兵 吕新广 王志刚 邓逸凡

1.北京航天自动控制研究所，北京100854

2.西北工业大学航天学院，西安710072

迭代制导方法［1-2］在运载火箭上升段入轨问题中已有成熟应用［3］，相比摄动制导方法具有制导精度高、任务适应性强、箭上飞行软件简单和对地面诸元准备要求相对较低的特点［4］。国外有学者研究了更为复杂的运动模型和控制模型下的迭代制导最优算法［5-7］;国内学者茹家欣［8］、吴楠［9］、王炀［10］等针对迭代制导算法中的控制模型、终端约束、横截条件等进行了改进。傅瑜等［4］给出了一种适用于大姿态角范围的迭代制导方法，并推导了其雅可比矩阵的解析式。吕新广［11］等在迭代制导算法的基础上论述了工程应用中的可靠性设计方法，包括对迭代算法可靠性保障措施、迭代次数控制和迭代制导分段数选取。

本文将迭代制导方法应用于空间变轨任务，提出一种适用于目标轨道为圆轨道情形的改进迭代制导方法。直接以轨道要素为终端约束的边界条件，不仅适应空间变轨的大姿态变化，而且各个约束方程求解精度直接决定目标轨道各个轨道要素的入轨精度，得到一种简单有效、适应大姿态角变化的迭代制导算法。

1 航天器空间变轨最优控制问题

航天器点火后的空间变轨问题可描述为最优控制问题。以航天器有限推力控制下的运动模型为状态方程，初始状态为导航系统提供的航天器当前位置、速度，目标集为目标轨道要求给定的终端约束，控制域为所有推力方向，性能指标为燃料最省，发动机秒流量固定时等效于飞行时间最短，建立航天器空间变轨数学模型，利用最优控制理论进行求解。

(1)航天器运动方程

在发射惯性系下建立航天器运动方程，仅考虑地球引力和发动机推力，则航天器运动模型为

其中，r为航天器位置矢量;v为航天器位置矢量;g为地球引力加速度矢量;T为航天器的推力大小;m为航天器质量，秒流量ms恒定时有m=m0-mst，m0为初始质量;u为推力方向矢量。引力加速度建模为当前点和终端点的引力加速度的平均值，即g=(g0+gf)/2，其中下标“0”表示当前点，下标“f”表示终端点。

(2)最优控制问题描述

建立航天器制导的最优控制模型，取状态变量为X=[r v]T，控制量即推力方向，U=u，则状态方程为式(1)。性能指标为燃料最省，亦即推力飞行时间最短，即

其中，θ为指标函数的非积分部分，即tf;h为终端约束式;ξ为每个约束式对应的乘子。式(16)展开为

2 基于轨道要素要求的终端约束条件

于是式(20)～(24)与式(18)和(31)组成所有7个横截条件方程，结合协变量和最优状态量的表达式(7)和式(15)，则横截条件方程组含λ0和tf共7个变量，可通过迭代求解，解得λ0和tf后，当前时刻的控制量即为

整个算法的求解流程为:

1)参数装订:设计入轨点轨道要素a，i，Ω，ω+f，发动机推力T，秒流量ms，航天器初始质量m0，飞行时间tf，协态变量λ的初始估计值;

2)导航输入:航天器当前时刻在导航坐标系下的位置、速度，计算得到惯性系下位置r、速度v;

3)计算设计入轨点位置并得到g，基于tf，λ0的初值，结合式(15)迭代求解式(18)、式(20)～(24)和式(30)组成的非线性方程组，得到tf，λ0的解。根据式(32)计算当前时刻推力方向;

4)若tf小于某给定值，如5s，则制导终止，航天器保持当前推力方向飞行完剩余时间后关机;否则转流程5)。

5)将流程3)中解得的tf，λ0作为下一制导时刻的初值，转流程2)。

3 仿真验证

以航天器在椭圆停泊轨道近地点附近点火进入大椭圆轨道为例进行仿真。本文迭代制导方法得到的状态量和控制量变化如图1～3所示。

图1 位置变化图

变轨结果如表1所示。从表中可以看出，终端点的半长轴精度为km级，偏心率精度达到10-5量级，轨道倾角精度达到10-3(°)量级，升交点赤经精度达到10-4(°)量级，近点角没有约束，实际燃料消耗比设计值多3.6%。

图2 速度变化图

图3 控制矢量变化图

表1 变轨结果

4 结论

提出了一种适用于目标轨道为圆轨道的以轨道要素为终端约束的迭代制导方法，以推力方向矢量为控制量适应大姿态角的变化，以目标圆轨道的轨道要素为终端约束。理论分析和仿真结果表明，所提出的迭代制导方法简单有效，制导结果与设计的最优值接近，能够适用于空间变轨中的大姿态角变化情形，适应性强，且计算简单、易于实现。

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