第二型边界条件下抛物型方程反问题的变分迭代解法

黄得建，李艳青

(琼州学院 数学系，海南 三亚 572022)



第二型边界条件下抛物型方程反问题的变分迭代解法

黄得建，李艳青

(琼州学院 数学系，海南 三亚 572022)

应用变分迭代法研究了第二边值条件下抛物型偏微分方程反问题的数值解法,得到抛物型偏微分方程反问题中的两个未知参数和方程的精确解,并通过例子说明这种方法的有效性.

变分迭代法;反抛物型方程;第二型边界条件;拉格朗日乘子;未知参数

0引言

考虑下面的一维抛物型方程[1]：

(1)

同时满足在空间区域内一点处温度的测量值

u(x*,t)=E(t),t∈(0,T]

(2)

和在边界处温度的测量值

u(1,t)=μ2(t),t∈(0,T],

(3)

其中：φ(x),μ1(t)和μ2(t)为初始和边界条件,f(x,t),|E(t)|>0为已知函数,p(t),q(t)为未知函数;x*∈(0,1)是固定的一点,(2)式和(3)式称为附加条件.

(1)-(2)式描述一些特定类型的数理方程[2-3],(2)式和(3)式分别表示在某一时刻t在x*处和x=1处测量的温度分布函数,q(t)表示在x=0处的表面热流量q(t). 模型(1)-(2)解的存在性和唯一性在文献[4]已经被证明.

通过附加边界条件来识别抛物型偏微分方程中的系数被称为反系数问题,又称之为抛物型方程反问题. 文献[2-6]研究了半线性抛物型方程反系数问题,得到这类问题的一些性质,并通过一些数值解法得到这类问题的数值解.

1 变分迭代法

变分迭代法是何吉欢提出来的[7],这种方法被成功的应用到初值问题[8]、双曲型偏微分方程[9]、强非线性方程[10]、分数阶非线性方程[11]和广义KdV方程[12]. 本文将应用变分迭代求出模型(1)- (3)的解和未知参数p(t)和q(t).

应用以下两个变换[13],设

(4)

和

w(x,t)=u(x,t)r(t)，

(5)

则问题(1)-(3)能化为如下形式：

(6)

以及

(7)

由(4)式和(5)式可知

(8)

(9)

显然,原问题(1)-(2)同辅助问题(6)-(7)是等价的. 文献[2,3]已给出问题(6)-(7)解的存在性和唯一性.

根据变分迭代法，对(6)式中的第一个方程构造t-方向上的校正泛函如下形式

(10)

对(10)式两边变分,整理可得:

利用分步积分公式,可得

δwn+1(x,t)=δwn(x,t)+(1+λ(t))-ʃt0δwn(x,s)λ′(s)ds=0,

即

所以有

λ(t)=-1.

将λ(t)代入(10)式,可得到如下解的迭代公式：

(11)

由(11)式可得到(6)式的解w(x,t),再由(8)式和(9)式可得原问题的解u(x,t)及未知参数p(t)和q(t).

2 实例

考虑模型(1)-(2),条件如下：

附加条件为：

设

w0=cos(πx)+x,

由迭代公式(11)式可得：

所以

由(8)式和(9)式可得原问题的解

u(x,t)=[cos(πx)+x]et,p(t)=1+t2,q(t)=et.

文献[1]中应用有限差分法也得到相同的解.

3 结论

本文成功的将变分迭代法运用于第二型边界条件下抛物型方程反问题的求解,运用这种方法不需要分离变量,不需要计算复杂的隐式差分序列,方便使用数学软件进行编程,不占用太多存储空间,收敛速度也比较快,是一种非常方便使用的方法.

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Variational Iteration Method for Solving an Inverse Problem of Parabolic Equation with Neumann Boundary Conditions

HUANG De-jian， LI Yan-qing

(Department of Mathematics, Qiongzhou University, Sanya Hainan, 572022，China)

In the current research, the variational iteration method was used to study the exact solution of an inverse parabolic problem with Neumann boundary conditions. Consequently, obtained are the exact solution and two unknown parameters of the parabolic partial difference equation . To show the efficiency of the present method, one interesting example is presented.

variational iteration method; inverse parabolic equation; Neumann boundary conditions; Lagrange multipliers; unknown parameter.

2015-09-30

琼州学院青年教师科研基金项目(QYQN201519);琼州学院青年教师科研基金项目(QYQN201520)

黄得建(1980-)，男，河南太康人，琼州学院数学系讲师，硕士，研究方向为偏微分方程的数值解.

李艳青(1978-)，女，河南武陟人，琼州学院数学系讲师，硕士，研究方向为奇点理论及应用，偏微分方程.

O241

A

1008-6722(2015) 05-0013-04

10.13307/j.issn.1008-6722．2015．05．04