双曲线及其几何性质

郑怡　吴甬翔

圆锥曲线作为数学高考的重要考点，是考查同学们的数形结合思想以及运算能力的绝佳载体. 新课标对双曲线部分的要求为“了解其定义、图形及标准方程；知道它的简单几何性质”，故本部分的复习应以基础题、常规题为主，不宜过度拔高.

重点难点

重点：双曲线的定义、标准方程，双曲线的几何性质（如：离心率、渐近线等）.？摇

难点：双曲线的渐近线与双曲线图形的关系，直线与双曲线的位置关系等相关的综合问题.

方法突破

1. 求双曲线标准方程的方法

（1）定义法：①根据题设条件判断曲线是否满足双曲线的定义；②直接求出a，b，c；③写出方程.

（2）待定系数法：①确定焦点的位置；②设出待求方程；③确定相关系数；④写出方程.

常用的方程设法有：①若不能明确焦点的位置，可设双曲线的方程为mx2+ny2=1（mn<0）；②与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线方程可设为-=λ（λ≠0）；③若已知渐近线的方程为mx+ny=0，则双曲线方程可设为m2x2-n2y2=λ（λ≠0）.

2. 双曲线的几何性质

双曲线的几何性质实质上是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互关系.

3. 双曲线的离心率

（1）求双曲线离心率的常见方法：一种是依据条件求出a，b，c，再计算e=；另一种是建立关于参数a，b，c的等式，进而转化为关于离心率e的方程，最后求出e的值.

（2）求离心率的范围时，常结合条件建立关于参数a，b，c的不等式，进而转化为关于离心率e的不等式，最后解不等式得之.

4. 直线与双曲线的综合问题

（1）直线与双曲线位置关系的判定：通常联立方程组，消去一个变量后转化为关于变量x（或y）的一元二次方程. 首先考虑二次项系数是否为0，当二次项系数等于0时，方程为关于x（或y）的一元一次方程，有且仅有一个解，直线与双曲线相交于一个交点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线. 当二次项系数不为0时，考虑该一元二次方程的判别式Δ，有如下结论：Δ>0？圳直线与双曲线相交于两个点；Δ=0？圳直线与双曲线相交于一个点；Δ<0？圳直线与双曲线无交点.

（2）涉及求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”求解，即通过“设而不求”，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来. 例如，若双曲线的方程为-=1，点A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），则kAB=·.

典例精讲

1. 双曲线的定义和标准方程

例1 （1）（2014年高考全国卷）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上. 若F1A=2F2A，则cos∠AF2F1等于（ ）

A. B.

C. D.

（2）（2014年高考北京卷）设双曲线C经过点（2，2），且与-x2=1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________.

思索 （1）涉及双曲线焦点三角形问题，只要利用定义结合余弦定理求解即可；（2）利用与已知双曲线有共同渐近线设出C的方程，即-x2=λ（λ≠0）来求解，可避免讨论焦点的位置.

破解 （1）因为双曲线C的离心率为2，所以e==2，即c=2a. 又点A在双曲线上，则F1A-F2A=2a，又F1A=2F2A，所以F1A=4a，F2A=2a，F1F2=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1=====. 故选A.

（2）与-x2=1具有相同渐近线的双曲线方程为-x2=λ（λ≠0）. 因为双曲线过点（2，2），所以λ=-22= -3，即双曲线方程为-x2=-3，化简得-=1，渐近线方程为y=±2x.

2. 双曲线的几何性质

例2 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且<α<，则双曲线的离心率的取值范围是__________.

思索 因为焦点在x轴上，所以渐近线与x轴的夹角的正切值为tanα=，再利用c2=a2+b2转化为a，c之间的关系求解.

破解 由题意可得tanα=，故1<<，所以e==∈（，2）.

3. 直线与双曲线的位置关系

例3 （2014年高考福建卷）已知双曲线E：-=1（a>0，b>0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=-2x.

（1）求双曲线E的离心率.

（2）如图1，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8. 试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.

思索 （1）由渐近线方程可得到a，b，c的关系进而求出离心率. （2）解法1先尝试特殊位置，再进行一般情况的证明，体现了由特殊到一般的思想，这也是我们处理不熟悉问题的常见思路；解法2巧设直线方程，避免了对特殊情况的讨论；解法3变换三角形面积的算法，最终殊途同归，都由韦达定理得到所设直线中变量的关系等式. 值得注意的是，本题中直线与双曲线只有一个公共点的情况是相切而非与渐近线平行，因此要对消元后的一元二次方程的二次项系数的范围进行限定.

确解 （1）因为双曲线E的渐近线分别为y=2x，y=-2x，所以=2，即=2，故c=a. 从而双曲线E的离心率e==.endprint

（2）解法1：由（1）知，双曲线E的方程为-=1. 设直线l与x轴相交于点C. 当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则OC=a，AB=4a. 又因为△OAB的面积为8，所以OC·AB=8. 因此a·4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为-=1.

若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为-=1. 以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：-=1也满足条件.

设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k>2或k<-2，则C-，0. 记A（x1，y1），B（x2，y2）. 由y=kx+m，y=2x得y1=；同理得y2=. 由S△OAB=OC·y1-y2，得-·-=8，即m2=44-k2=4（k2-4）. 由y=kx+m，-=1得（4-k2）x2-2kmx-m2-16=0. 因为4-k2<0，所以Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+16）= -16（4k2-m2-16）. 又因为m2=4（k2-4），所以Δ=0，即l与双曲线E有且只有一个公共点. 因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为-=1.

解法2：由（1）知，双曲线E的方程为-=1. 设直线l的方程为x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2）. 依题意得-

解法3：当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）. 依题意可得k>2或k<-2. 由y=kx+m，4x2-y2=0得（4-k2）x2-2kmx-m2=0. 因为4-k2<0，Δ>0，所以x1x2=. 又因为△OAB的面积为8，所以OA·OB·sin∠AOB=8. 又易知sin∠AOB=，所以·=8，化简得x1x2=4. 所以=4，即m2=4（k2-4）. 由（1）得双曲线E的方程为-=1，又由y=kx+m，-=1得（4-k2）x2-2kmx-m2-4a2=0. 因为4-k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点，当且仅当Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+4a2）=0，即（k2-4）（a2-4）=0. 所以a2=4，所以双曲线E的方程为-=1.

当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x=2. 又易知l：x=2与双曲线E：-=1有且只有一个公共点.

综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为-=1.

变式练习

1. 设双曲线-=1（a>0）的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（ ）

A. 4？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 B. 3？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇C. 2？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇D. 1

2. 已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：-=1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于（ ）

A. B.

C. D.

3. 已知双曲线的两个焦点为F1（-，0），F2（，0），M是此双曲线上的一点，且满足·=0，·=2，则该双曲线的方程是（ ）

A. -y2=1 B. x2-=1？摇？摇？摇？摇？摇

C. -=1 D. -=1

4. 设F1，F2是双曲线C：-=1（a>0，b>0）的两个焦点，P是C上一点. 若PF1+PF2=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________.

5. 已知双曲线-=1（b>a>0），O为坐标原点，离心率e=2，点M（，）在双曲线上.

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且·=0，求+的值.

参考答案

1. C 2. A 3. A

4.

5. （1）因为e=2，所以c=2a，b2=c2-a2=3a2，双曲线的方程为-=1，即3x2-y2=3a2. 因为点M（，）在双曲线上，所以15-3=3a2. 所以a2=4. 所以所求双曲线的方程为-=1.

（2）设直线OP的方程为y=kx（k≠0），联立-=1，得x2=，y2=，所以OP2=x2+y2=. 则OQ的方程为y=-x，有OQ2==，所以+===.