判断法向量的方向准确求解二面角

●裘春风(鄞江中学浙江宁波315151)

判断法向量的方向准确求解二面角

●裘春风(鄞江中学浙江宁波315151)

利用空间向量法求证空间位置关系及空间角已为大家所熟知.利用法向量公式求出余弦值后，仅仅通过观察和凭直觉来判断，有时不能确定究竟是钝二面角还是锐二面角(二面角的余弦值是正的还是负的).事实上，笔者在课堂上也陷入了同样尴尬的局面.对于学生提出来的“怎样正确判断是钝二面角还是锐二面角”这一问题，也没有提供完美的答案.课后，笔者对这一问题作了思考，查阅了相关的文献，并对文献中提供的各种方法和途径作了分析、比较.笔者认为，可以通过确定法向量的方向来准确求解二面角的大小.

图2

首先，认识法向量的夹角和二面角的关系.法向量的方向指向二面角的内部，称之为“进”入半平面;法向量的方向指向二面角的外部，称之为穿“出”半平面.如图1，当法向量n1，n2“一进一出”时，n1，n2的夹角就是二面角的大小.如图2，当法向量n1，n2“同进同出”时，n1，n2的夹角就是二面角的补角.因此，可简单地归纳成“法向量同进同出，角互补;法向量一进一出，角相等”.

其次，如何正确判断法向量是“进”入半平面还是穿“出”半平面呢?下面笔者举例说明.

例1已知在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，PA=AD=1，AB=2，M，N分别是PD，CD的中点.

1)求证:MN⊥AD;

2)求二面角A－MN－C的平面角的余弦值.

图3

分析1)略.

2)以A为坐标原点、AC，AD，AP所在直线为坐标轴，建立如图3所示的空间直角坐标系，则A(0， 0，0)，，D(0，1，0)，P(0，0，1)，，从而

点评此时凭直觉很难确定二面角A－MN－C的平面角是钝二面角还是锐二面角.其实，可以通过判断法向量的方向，如平面AMN的法向量的方向是“进”入半平面AMN，平面CMN的法向量的方向是穿“出”半平面CMN.因此，根据“法向量一进一出，角相等”原则，可以确定二面角A－MN－C的平面角的余弦值为.

例2在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知，BC=4，BC的中点为O，A1O⊥底面ABC.

1)证明:在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长;

2)求二面角A1－B1C－B的平面角的余弦值.

图4

分析1)略.

2)如图4所示，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，－2，0)，A1(0，0，2)， B(0，2，0).由第1)小题可知，则点E的坐标为，从而平面BB1C1C的法向量是.

设平面A1B1C的法向量为n=(x，y，z)，由得

令z=－1，得x=2，y=1，即n=(2，1，－1)，从而

点评可以判断“进”入半平面BB1C1C，法向量n也是“进”入半平面A1B1C，根据“法向量同进同出，角互补”原则，可以确定二面角A1－B1C－B的平面角的余弦值为

一般地，一个平面的法向量总有一个明显的方向，先求出法向量，根据法向量的值在图形中标出法向量大致的方向;然后通过判断法向量是“进”入或者穿“出”某个半平面;再根据“法向量同进同出，角互补;法向量一进一出，角相等”的原则，从而准确求解二面角的大小.

有了上面的理论和实践，笔者给学生上了一堂专题课“判断法向量的方向，准确求解二面角”.终于，较完美地回答了学生的问题，解决了学生的困惑.

［1］齐相国.法向量求二面角时法向量的方向的判断方法［J］.数学通讯，2009(4):22-23.

［2］李伟.再谈用法向量求二面角之难点——兼与《利用法向量求二面角的一个难点》一文的商榷［J］.中小学数学:高中版，2009(5): 20-22.

［3］黄辉.选择法向量的方向，准确求解二面角［J］.中学数学研究，2010(7):41-42.