从一道“希望杯”赛题谈谈如何比较大小

●蓝云波(兴宁市第一中学广东兴宁514500)

从一道“希望杯”赛题谈谈如何比较大小

●蓝云波(兴宁市第一中学广东兴宁514500)

题目已知，则x，y 的大小关系是______.

(第11届“希望杯”数学邀请赛高二试题)

比较大小是数学中极为常见和重要的核心内容.试题考查了在根式形式下数值大小的比较，形式优美，立意强，解法多姿多彩.虽是一道小题，却蕴含着深刻的数学思想与方法，是一道值得研究的好题.笔者通过从不同视角分析、研究，得出多种解法，现分析如下.

视角1作差

比较大小中，最直接的方式是直接比较，而作差是最常用的方法之一，因而最易想到.如何作差化简及放缩是关键.

解法1因为

视角2作商

比较大小中，另一种直接的方式是作商比较.通过观察发现，分子、分母的被开方数之差都是a，故可利用平方差公式化简求解.

视角3先化简再比较

若直接比较大小比较麻烦，先化简再比较大小也是相当不错的策略.

解法3因为

视角4构造向量

向量是数学中的重要工具，兼具形和数的特点，故可考虑构造合适的向量解决.通过观察，不难构造出适合解题的2个向量，然后利用向量的重要性质，解决问题.

视角5利用数形结合

数形结合直观明了，是解决数学问题的一大法宝.构造辅助函数之后，结果呼之欲出.

解法5如图1，在函数的图像上取不同的点，，.由图像可知kBC＜kAB，即

图1

视角6利用主元思想

此题有2个字母，若以某个字母为主，另一个字母为参数，则可利用函数的观点解决.导数是研究问题的重要方法之一.

解法6设，则

因为0＜a＜b，所以

从而f'(a)＜0，故f(a)在(－∞，b)上单调递减.

又因为a＞0，所以f(a)＞f(0)=0，即

通过一道小题的多视角分析，打通了数学知识之间的内在联系，发散了数学思维，使知识与方法融会贯通，提高了分析问题和解决问题的能力.