初中规律性问题解法谈

钟蒙川

【摘 要】在初中数学的学习中，我们会遇到许多具有规律性的问题，这些问题采用什么样的解法才能更容易的解答，是我们研究的重点与难点。为了帮助大家更好的理解和解决规律性问题，本文在结合自身教学经验的基础上，通过对初中数学规律性问题的分类，探索其中的解题方法。

【关键词】初中数学;规律;解法

初中规律性问题多数指的是高中的数列问题。高中学生对数列都感到头疼，更别说初中学生了。以下我就其特点归纳为几种常见的类型并以求某一项为例谈谈求解方法。

（1）等差型

等差型是指数据从第二个数（项）起，每一个数（项）与它前面的数（项）的差等于一个常数，故为等差型（或等差数列），等差型的每一个数（项）都可以写成这个常数的倍数的加减。

例1、某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：当有n张桌子时，两种摆法各坐多少人？

分析：数字化后第一种的数据为：6，10，14，……属等差型，常数为4，则可得4n+2。

第二种的数据为：6，8，10，……属等差型，常数为2，则可得2n+4。

（2）等比型

等比型是指数据从第二个数（项）起，每一个数（项）与它前面的数（项）的比等于一个常数，故为等比型（或等比数列），等比型的每一项都可以写成这个常数的乘方的乘积。

例2、如图是一幅“苹果排列图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，…第n行有_____个苹果。

分析：数字化得数据：1，2，4，8，……

显然是等比型，常数为2，

则可得第n项为2n-1。

（3）乘方型

乘方型一般数据都是平方数。若以图形出现，要求学生对图形进行观察分析，将规律数字化后，进行合理的分析就可以得到。

例3、已知下列一组数：1，，，，……;用代数式表示第n个数，则第n个数是________。

分析：从分子看是连续奇数（等差型常数为2），分母则为平方数，则第n项为。

（4）周期型

周期型的数据常常是要通过计算方可得出数据，数字化后，数据每隔一定的数字后数据就循环，这些数字的个数就是周期，再利用周期分析就可以得到。

例4、如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5。若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”如：小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点;然后从1→2为第二次“移位”。若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是____________。

分析：结合题意数字化得：4，3，1，2，4，3，……

观察知道周期是4，第10次位移是两个周期后又两次位移，则为3。

（5）裂变型

若将规律数字化后按照以上几种类型均无法解决，就可以考虑对数据进行裂变（拆分），然后对裂变所得数据再分析。一次裂变不行可再进行第二次裂变。一般裂变为和差形式或积的形式的题型较多。

例5、如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数为_____。

分析：此题无论从图或数字化后观看都可以看出只需将每项减去1，就变成乘方型。

数字化后为：2，5，10，17，……，裂变为1+1，4+1，9+1，16+1，……

则答案为n2+1。

（6）复合型

复合型数据中融合了几种类型的数据。复合型一般常以分式或等式形式出现，因此既要考虑分子又考虑分母或既要寻找等号左边的规律又要寻找等号右边的规律。

例6、观察下列等式：

第一行   3=4-1

第二行   5=9-4

第三行   7=16-9

…     …

按照上述规律，第n行的等式为______。

分析：等号左边是等差型，常数为2，第n项为2n+1，等号右边是两个乘方型，第n项为（n+1）2-n2。故第n项为2n+1=（n+1）2-n2。

总之，规律性问题的求解的关键是找出他们内在的变化规律，然后结合其所属类型进行猜想，对猜想的结果再进行验证，从而得出答案。事实上我们把握了每一项的变化特点，解起来就方便多了也就不会头疼了。

【参考文献】

[1]房延华.探索规律性问题解析[J].数学探索.2004（10）

[2]周银.例说规律性问题[J].初中数学教与学.2010（23）

（作者单位：四川省达州市达川区城南学校）