内啮合齿轮泵内齿轮的径向微振动的研究

， ， ， 杨勇(.浙江大学 流体动力与机电系统国家重点实验室， 浙江 杭州 3007；.中国船舶重工集团公司 第七〇七研究所， 江西 九江 33007)

引言

容积式液压泵是液压传动系统中的核心动力元件，其性能优劣直接影响到液压系统性能的高低。内啮合齿轮泵以其结构紧凑、容积效率高、噪声水平低和可靠性高等突出优点，广泛地应用于重视控制精度、节能、环境噪声和可靠性的工业领域或者某些要求结构紧凑噪声很低的场合。对于渐开线内啮合齿轮泵，由于渐开线内啮合齿轮副旋向相同，相对滑动速度小，重合度大，从而使得齿轮副磨损轻微，使用寿命长，流量脉动远小，高速自吸性能好[1]。目前，应液压系统的要求，内啮合齿轮泵正向高压力、高转速方向发展[2]。

对于容积式液压泵，其工作原理决定必定有运动部件与静止部件形成摩擦副，摩擦副的设计与性能优化直接影响到该元件所能承受的最高压力及最长使用寿命。内啮合齿轮泵的内齿轮与壳体之间的摩擦副是该元件的关键摩擦副[3]。内啮合齿轮泵可分为轴向排油和径向排油两种。对于轴向排油的情况，一般都采用静压支承的设计方法(阻尼管型静压支承)，即以阻尼管引高压油液至内齿轮与壳体之间，通过阻尼管的固定阻尼与内齿轮与壳体之间可变油膜厚度所形成的可变阻尼用来起到压力调节反馈作用，近似计算摩擦副之间油膜的支承力[4]。

对于径向排油，由于高压出油口就在内齿轮与壳体之间充当压力不变的高压油室，内齿轮与壳体之间不应再按照阻尼管型静压支承进行设计计算。内齿轮受到的径向不平衡力，会使得内齿轮与壳体中心不完全重合，而是被偏心的压向一侧。从而，内齿轮与壳体之间会形成楔形油膜，由流体力学动压润滑相关理论可知，两物体之间的楔形油膜由于相对运动会产生附加的压力场，从而改变内齿轮与壳体之间油膜的压力场分布[5]。

目前国内对内齿轮受到的油膜力多采用静压支承方式，采用公式进行推导。美国的普渡大学Andrea V.教授对外啮合齿轮泵的油膜特性进行了建模分析和试验验证，研究了外啮合齿轮泵浮动侧边与齿轮端面之间、滑动轴承等摩擦副的油膜特性。

本研究采用数值编程方法，首先对齿轮泵的核心元件内啮合齿轮副进行基于数值建模的压力区域划分，求解内齿轮收到的周期性变化的径向不平衡力。基于一维雷诺方程对内齿轮与壳体之间的楔形油膜压力场进行数值离散求解，最后对内齿轮受到的合力与径向位置的微变动进行研究。

1 内齿轮的受力情况分析

内齿轮受到的力主要包括三部分，分别是齿轮腔内压力油液对齿面的液压力、齿轮副啮合的啮合力和内齿轮与壳体之间高压油液及油膜所产生的支承力。

基于渐开线内啮合齿轮副的啮合方程，按照二次展成法求解啮合齿轮齿廓，可利用MATLAB工具对内啮合齿轮副进行参数化建模[6]。MATLAB的建模模型如图1所示。

图1 内啮合齿轮副MATLAB建模图形

在图1中，可以把内啮合齿轮泵的啮合齿轮副、月牙块等关键部件全部用MATLAB进行数值化，从而得齿轮副的啮合点、齿轮副与月牙块的交点等一系列关键点，从而为对内齿轮进行数值化压力分区做好准备。

1.1 内齿轮压力分区

如图2所示，齿轮副在啮合过程中最新出现的啮合点被定义为高低压区分界点，即图中P点；内齿轮与月牙块小端的交点被定义为高压区向过渡区的分界点，即图中H2点；内齿轮与月牙块大端的交点被定义为过渡区与低压区的分界点，即图中C2点；内齿轮的中心点为O2点。以上四个关键点把内齿轮划分成高压腔、过渡腔和低压腔三部分[7]，每一个腔所对应的扇形角为其相应的压力包角，从而可以求得其内齿轮和外齿轮的高压包角和过渡包角，即∠H2O2P为高压包角，∠H2O2C2为过渡包角。低压包角由于对应的压力很低，作用不大，在此不作讨论。

图2 内啮合齿轮泵压力区域划分

内齿轮齿面所受到的液压力与齿面所处的区域有关。如图3所示当齿面处于高压腔，齿面受到的压力均为泵的出口压力po； 当齿面处于过渡腔时， 齿面受到的压力为过渡压力pf。 通过FLUENT的仿真分析，过渡区域，同一个齿槽内所包油液压力相等，相邻齿槽之间油液压力成线性梯状下降。设过渡区跨过齿槽数为n，则相邻齿槽之间的压差为：

图3 内啮合齿轮泵压力分布示意图

(1)

式中，pi为泵进口压力。

1.2 单个齿槽的受力分析

由于啮合点在齿面上，导致啮合点所处的齿槽只有部分齿面受力；并且在过渡区域，不同的齿槽的压力不一样，为了更准确地计算内齿轮受到的液压力，并不能采用简单的圆柱形等效的方法，在此对单个齿槽的受力进行了分析。

如图4所示，为内齿轮一个齿槽的受力示意图。在齿面上任取一点A，该点的受力方向为齿面的法线方向，由由渐开线的基本性质知道，从渐开线上的任何一点出发，作其法线均与基圆相切。取渐开线上某一点，其渐开线的发生角为θ，压力角为αk，对应的发生线长度为sk。

图4 内齿轮一个齿槽的受力分析示意图

令齿面上选定点为A，其法线与基圆相切与B，OB与y轴所成的角度为β，则有：

(2)

由渐开线的性质可知：

(3)

从图中的几何关系可得角度关系：

β=θ-δ=tanαk-δ

(4)

整理得到：

(5)

如果对于一个齿槽，由于两个齿面受到关于y轴对称的力，由对称线可知x方向合力为0，即：

(6)

式中，αk0为齿根圆处的压力角；αk1为齿顶圆处的压力角。

1.3 内齿轮的啮合力分析

液压力分别产生M1和M2两个扭矩作用在齿轮轴和内齿轮上。其中，扭矩M1通过液压力所作用的齿面直接传递给齿轮轴，即在齿轮轴上所产生的径向力已经包含在液压径向力中；而扭矩M2通过液压力所作用的齿面作用在内齿轮上，内齿轮又通过啮合点将此扭矩传递给齿轮轴。所以，可以根据扭矩M2求出内啮合齿轮副的啮合径向力。

图5 内啮合齿轮副啮合径向力

根据渐开线齿轮的性质，扭矩M2所引起的啮合力Ft是一对两个大小相等、方向相反的相互作用力，其作用方向与渐开线啮合轨迹重合，分别作用在齿轮轴和内齿轮上，如图5所示。啮合力Ft的大小为[8]：

(7)

1.4 内齿轮的支承力分析

如图6所示为内齿轮与壳体配合截面图，ABCD四点为密封带始末位置。AD弧为密封区域；内齿轮受到的支承力主要分为两部分，中间高压油室的压力所产生的支承力和油室四周的密封带的油膜所产生的支承力。BC弧为高压出油槽，其包角为β。AB段密封带的包角为α1，CD段的密封带包角为α2。

图6 内齿轮与壳体配合截面图

把这一段展开，对应的图及其位置如图7所示。密封区域展开呈矩形密封，中间黄色填充为高压油室，压力为po；边界区域为低压区域，等于进油口压力pi；中间过渡带为密封带。高压油室压力po沿z轴递减到进油口压力pi，由于油膜厚度沿着z轴不变，所以可以认为压力线性递减。而油膜厚度沿着y轴是改变的，呈现为楔形油膜。

图7 密封带展开图

示意图如图8所示为z值为某一常数的情况下的楔形油膜示意图； 内齿轮外圆与壳体内圆是间隙配合关系。假设在某一时刻，内齿轮外圆相对壳体内圆偏心距离为e，最小油膜厚度hmin出现在与x正半轴成θ的位置处。由于BC段压力为高压油室压力或者是高压油室压力沿z轴线性递降的压力，压力z值为某一常数时保持不变。因此，应把B、C点处的油膜厚度作为等效最小油膜厚度。

图8 楔形油膜示意图

令C点与x轴正半轴所成的夹角为ε2，根据几何关系可以得到C点处的油膜厚度，即等效最小油膜厚度为：

h2=R-r-ecos(ε2-θ)

(8)

在CD段密封带中，取一小段微元dα2；与x轴正半轴所成角度为ε，根据一位形式雷诺方程，

(9)

式中，dr表示的是微元的周向长度，即：

dr=r·dα2

(10)

式中，μ表示的是油液运动黏度；

v为相对运动线速度；即：

v=2πnr

(11)

式中，h为小微元的油膜厚度，即：

h=R-r-ecos(ε-θ)

(12)

整理得到：

(13)

将α2一段平均分为m份，则：

(14)

将上式进行离散化，则得到：

(15)

初始迭代式为：

(16)

利用上面两式进行数值迭代，即可得到密封带楔形油膜处每一点的油膜压力，从而求得楔形油膜的支承力。

2 内齿轮的受力与径向位置的耦合关系

以上已经讨论了内齿轮的受力情况，从上面分析可知，内齿轮受到的液压力与啮合力合力，(称为径向不平衡力)，是把内齿轮“压向”壳体；而内齿轮受到的高压油室和油膜的支承力则是将内齿轮“推离”壳体。为了顺利完成泵压力的建立，避免泄漏过大，需要内齿轮与壳体之间保持紧紧的接触以保证密封的需要，这就要求径向不平衡力要大于支承力，使得内齿轮不管在什么情况下，在泵的工作压力范围内，都能保持良好的密封性及润滑性[9]。

为求解内齿轮的受力与位置的耦合关系，需要对这对耦合关系进行数值求解，其原理为：对于某一工况下，内齿轮在一个周期内的每一个时间点受到的径向不平衡力均不同。对应于某一时间点，径向不平衡力是一定的。内齿轮在不同的偏心距ei及与x正半轴所成的偏心角θj下，齿轮受到的压向壳体的总的合力Fij也不同，在Fij的调整作用下，存在一个最优的偏心距eii及偏心角θjj，使得Fij值最小。

(17)

基于MATLAB数值计算仿真的流程图如图9所示。

图9 仿真程序流程图

3 内齿轮的径向位置特征

3.1 仿真参数的输入

仿真分析主要的参数如表1所示。

表1 仿真分析主要参数

3.2 仿真结果分析

把仿真参数输入程序，最后把得到的结果整理得到的结果图线如图10～12所示。

图10 内齿轮径向不平衡力及合力

图11 内齿轮位置变化图线

从上面的结果图线可知，内齿轮受到的径向不平衡力在65～68 kN之间变化，在转过10°和20°时均有一个下冲， 这两个下冲均是由于高压包角瞬间变小的原因。前者是由于侧板上的一个流孔的遮盖作用导致高压包角瞬间变小；后者是由于第二对啮合轮齿发生啮合，导致啮合点的位置从往回跳了一个齿的位置。前者导致的包角瞬间变化较小，因此受力跳变不大，后者导致的包角瞬间变化较大，因此受力跳变较大。

图12 油膜厚度变化图

从0～20°的位置，内齿轮的受力没有出现大的跳变，与此相对的是，内齿轮的位置变化也相对稳定，都是保持在偏心距为10 μm，偏心角为-30°附近。在20°的时候，内齿轮受力突然有一个较大的下冲，内齿轮位置会产生较大的跳动，跳到了偏心角为7 μm，但是偏心角不变。这主要是由于不平衡力突然下降，使得支承力往上推动内齿轮使得偏心距减小。

由于内齿轮的位置随着支承力变动，可见内齿轮受到的合力与径向不平衡力有很好的跟随性，使得压紧系数保持在1.1～1.25不变，不会导致剩余压紧力过大而造成过度磨损。

油膜高度的变化最小值保证在10 μm，油膜的最大值不超过30 μm。内齿轮外圆和壳体内圆的表面粗糙度均可达到1.6 μm，油膜高度的最小值比两者之和的两倍还要大，保证了内齿轮与壳体之间能处于油膜润滑状态，油膜高度的最大值出现在密封带的边缘处，保证了油膜的密封性和润滑性。

4 结论

(1) 对内啮合齿轮泵内齿轮的受力情况作了细致的分析，基于MATLAB对齿轮啮合过程进行数值建模，求解啮合点、临界点等关键点，并对齿面所受的液压力进行基于渐开线性质的积分计算，较准确地求解了内齿轮受到的液压力及啮合力；

(2) 基于一维雷诺方程搭建了楔形油膜模型，将油膜动压效应引入油膜模型，求解油膜支承力与径向不平衡力之间的关系，为对内齿轮与壳体之间的油膜的动态性研究提出了一种新的思路。

(3) 通过动态求解内齿轮径向受力与位置的耦合关系，求得了油膜的厚度场，并且通过厚度场的求解，比较准确地定位了内齿轮的偏心距与偏心角，得到了内齿轮在工作过程中沿着径向微振动的运动规律。

参考文献：

[1] 李宏伟,高绍站.内啮合齿轮泵的排量分析[J].液压与气动,2007,(2):67-69.

[2] 刘志刚.内啮合齿轮泵浮动侧板对泵寿命及效率的影响[D].兰州:兰州理工大学,2009.

[3] 许耀铭.油膜理论与液压泵和马达的磨擦副设计[M].北京：机械工业出版社,1984.

[4] Vantysyn J,Ivantysynova M.Hydrostatic Pumps and Motors[M].New Delhi:Academia Books International,2001.

[5] 李迎兵.轴向柱塞泵滑靴副油膜特性研究[D].杭州：浙江大学, 2011.

[6] 宋伟.渐开线水液压内啮合齿轮泵研究[D].杭州：浙江大学，2013.

[7] 何存兴.液压元件[M].北京：机械工业出版社,1982.

[8] Tsuneo Ichikawa.Characteristics of Internal Gear Pump[J].Bulletin of JSME,1959，(5):35-39.

[9] 徐绳武.柱塞式液压泵[M].北京：机械工业出版社,1983.