高中数学中常见的恒成立问题

岳永波

高中数学中有一个高考的热点内容，它涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的图像与性质以及导数、数列等知识，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程、最值等思想方法，这就是恒成立问题，也就是在给定条件下某些结论永远成立的命题。恒成立问题涉及的很多题型都与函数的最值相联系，这就要求教师在平时教学中要多向学生渗透函数思想方法，引导学生深入理解知识之间的相互联系和共性，以及数学中的通性通法，为综合利用知识打下基础。

一、构造函数，利用单调性解决恒成立问题

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题。在一个含有多个变量的数学问题中，要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了。一般来说，是把已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数。

例1.对于满足0≤m≤3的所有实数m，求使不等式x2+mx>3x+2m-2成立的x的取值范围。

分析：多元不等式问题求解的关键在于确定哪个量为主元。此问题可看成关于x的不等式的讨论，若将m定为主元，则问题可转化为在[0，3]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。

解：不等式变形为x2+（x-1）m-3x+2>0。

设f（m）=（x-2）m+x2-3x+2，则它是关于m的一个一次函数，是单调函数，结合题意有

，即

，得 x<-2或x>2。

二、数形结合，直观处理恒成立问题

如果不等式中涉及的函数和代数式对应的图象、图形较易画出，可通过图象、图形的位置关系建立不等式，求得参数范围。

例2.已知函数y=f（x）

，若不等式f（x）≥2x-m恒成立，则实数m的取值范围是 。

解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y=2x-m 及y=f（x）的图象，由于不等式f（x）≥2x-m恒成立，所以函数 y=2x-m的图象应总在函数y=f（x）的图象下方。因此，当x=-2时，y=-4-m≤0，所以m≥-4，故m的取值范围是[-4，+∞）。

解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上下位置关系确定参数的范围。利用数形结合的方法解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象。例如，不等式 x2-logax<0在x∈（0，）时恒成立，求a的取值范围。此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设f（x）=x2，g（x）=logax，然后在同一坐标系中准确做出这两个函数的图象，观察图象便可求解。

三、变量分离型恒成立问题

若在等式和不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则该恒成立问题可以转化为函数的最值求解问题，我们将此类恒成立问题称为变量分离型恒成立问题。

例3.当x∈R时，不等式4a+sin2x<-4sinx=a2恒成立，求实数a的取值范围。

分析：不等式中含有两个变量a和x，其中x∈R，另一个变量a的范围为所求，因此可以考虑将a和x分离。

解：原不等式变形为sin2x+4sinx5，解得a>5或a<1。

四、立体几何中恒成立问题

高中数学中立体几何内容涉及到线与线、线与面、面与面的位置关系，主要是垂直和平行关系的应用，其中也不乏有趣的几何问题。

例4.如图示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是棱C1C、C1D1、D1D、DC、BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件 时，就有MN∥平面B1BDD1。

解：连结FH、HN，则FH∥DD1，HN∥BD，

∴FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1。∴当M在线段FH上时，MN?平面FHN。∴MN∥平面B1BDD1，即点M在线段FH上时，就有MN∥平面B1BDD1。

线与面平行，主要是指直线与平面无公共点，其中一个判定方法是：如果一条直线在某个平面内，并且这个平面与另一个平面平行，那么这条直线与另一个平面无公共点，即平行。例4就是应用此判定方法。另外还可以考虑用到直线与平面垂直，那么过这条直线的所有平面都与这个平面垂直。

恒成立问题题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大，所以要求学生有较强的思维灵活性和创造性。上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应重视恒成立问题的教与学，提高学生解决此类问题的能力。

（责任编辑 赵永玲）