浅谈导数在求解与函数单调性有关问题中的应用

姜海峰

函数单调性是高中阶段函数的一个最基本的性质，导数为我们提供了一套新的理论和方法，只通过简单的求导和解相关的不等式就可以判断出函数的单调性，进而更深入地解决问题，比如最值问题等。那么，怎样用导数解决有关单调性的问题呢？

一、导数与函数单调性的关系

1.定义

设函数y=f（x）在某个区间（a，b）内可导，如果f'（x）>0，那么y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f'（x）<0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减。

2.说明

（1）如果函数y=f（x）在区间I内恒有f'（x）=0，则y=（x）在区间I内为常函数。

（2）f'（x）>0是f（x）递增的充分不必要条件，如y=x3在（-∞，+∞）上并不是都有f'（x）>0，有一个点例外，即x=0时f'（x）=0，同样f'（x）<0是f（x）递减的充分不必要条件。

（3）设函数y=f（x）在某个区间内可导，如果 f（x）在该区间上单调递增（或单调递减），则先列不等式f'（x）≥0（或≤0），再去验证f'（x）=0时是否恒成立。

（4）利用导数证明不等式时，往往要先构造函数，再利用导数判断其单调性求解。

（5）利用导数求函数单调区间的三个步骤：

①确定函数的定义域。

②求函数f（x）的导数f'（x）。

③令f'（x）>0解不等式，得x的范围就是递增区间；令f'（x）<0解不等式，得x的范围就是递减区间。

二、典型例题

1.判断单调性

例：讨论函数 的单调性。

题型分析：求出y'，在函数定义域内讨论y'的符号，从而确定函数的单调性。

解题归纳：在判断函数单调性时，在某个区间内若出现个别的点使f'（x）=0，则不影响包含该点的这个区间上函数的单调性，只有在某个区间内恒有f'（x）=0，才能判定f（x）在该区间内为常函数。

2.证明单调性

例：求证函数f（x）=在区间（0，2）上是单调递增函数。

题型分析：利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质就是判断或证明不等式f'（x）>0（f'（x）<0）在给定区间上恒成立，一般步骤为：求导数f'（x），判断f'（x）的符号，给出单调性结论。

解题归纳：判断导数符号时应注意利用不等式的关系。

3.已知单调性求参数的范围

例：设函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R在区间（-，-）内是减函数，求a的取值范围。

题型分析：函数解析式中含有参数，已知单调性，求参数的取值范围，解答本题可先求函数的导数，以导数符号确定参数的取值范围。

解：因为函数f（x）在区间（-，-）内是减函数，所以当x∈（-，-）时，f'（x）≤0恒成立，结合二次函数图象可以知道f'（-）≥0且f'（-）≤0，解得a≥2。

经验证，当a=2时也成立，所以a≥2。

解题归纳：本题一定要注意最后的验证，了解导数符号和单调性的非充要关系，做到知识掌握的准确性和做题逻辑的严密性。

变式：若函数f（x）=x3-ax2+（a-1）x+1在区间（1，4）上是减函数，在区间（6，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围。

题型分析：本变式给出了两个单调区间，应该得出两个导数不等式，再求参数范围。

解：f'（x）=x2-ax+（a-1），令f'（x）=0得x=1或x=-1，结合函数图象可知4≤a-1≤6，故a∈[5，7]。

解题归纳：本题也可转化为f'（x）≤0，x∈（1，4）恒成立且 f'（x）≥0，x∈（6，+∞）恒成立，再验证等号的方法来求解。

4.利用单调性证明不等式

例：求证当x>0时，ln（x+1）>x-x2。

题型分析：利用导数证明不等式的基本方法是通过移项或者变形后再移项来构造一个新的函数，利用新函数单调性再求最值的方法来证明。

证明：设f（x）=ln（x+1）-（x-x2）=ln（x+1）-x+x2

函数的定义域为（-1，+∞）

则f'（x）=-1+x=，当x∈（-1，+∞）时，f'（x）>0

所以，f（x）在（-1，+∞）上是增函数。

所以，当x>0时，f（x）>f（0）=0

即当x>0时，ln（x+1）>x-x2

解题归纳：通过考查函数的单调性证明不等式是不等式证明的一种常用方法，也是证明不等式的一种巧妙方法。

总之，导数在求解与单调性有关问题中有广泛应用，在以后的工作和学习中我将不断探索和积累。

（责任编辑 冯 璐）