利用定积分定义求极限的新方法

殷峰丽

极限是研究数列和函数性质的重要工具,和式极限的求解是极限运算的一个重要组成部分.利用定积分的定义将所求的和式极限直接化成某个函数的积分和,是计算和式极限的一种有效方法,但是有些题目并不能直接转化为某个函数的积分和.为此,本文利用无穷小分析法,从理论上说明可将所给题目中的被加项用等价无穷小来代替,然后再化为某个函数的积分和,进而有效地解决问题.

定理 设f(x),g(x)在[a,b]上可积,g(x)≠0,x∈(a,b),若,则

证 令

于是

因为f(x),g(x)在[a,b]上可积,所以f(x),g(x)在[a,b]上有界,不妨设|g(x)|≤M,G=,则由式(1)、(2)可得

参考文献:

[1]陈守信.数学分析选讲[M].北京:机械工业出版社,2009,8:21-24.