同步电机结构的数学变换研究

谢宝昌

(上海交通大学电子信息与电气工程学院，上海 200240)

“电机学”是电气工程与自动化专业的一门重要基础课，同步发电机功率调节是其重要的内容之一。然而，目前该课程教材主要介绍汽轮(水轮)发电机同步电机的结构［1，2］，缺乏对其他类型同步电机结构的介绍，尤其是具有永磁体的同步电机。

本文以电磁感应原理为基础的电机为例，主要从同步电机原理出发，分析实现同步电机运行的各种结构，因此可以作为“电机学”教学内容的重要补充。

1 电机的基本原理

电机内的电磁力和感应电势是“电机学”的基础。电流密度为J的载流导体在外磁场B中受到的单位体积电磁力f表示为

式中，J为导体交流电流密度。

在外磁场B中，相对运动速度为V的导体单位长度矢量nl上的感应电势e表示为

电机的电磁功率Pem等于单位体积力与速度矢量标量积的体积分，考虑到式(1)和(2)得到

电机内部是交流电能与机械能的相互转换，由式(1)、(2)和(3)可知，J、V和B三者主体有效部分相互正交，电磁功率等于所有导体感应电势与电流乘积之和。因此，围绕J，V和B三者空间正交性可形成不同结构的电机，而且电磁力与速度尽可能一致，以提高机电能量转换效率，符合旋转、直线、平面或球面运动电机的需要。

由于交流绕组导体与磁场是相对运动的，因此根据不同的励磁方式，如交流、直流、永磁或磁阻，来确定交流导体的空间运动状态。

以电磁感应为基础的电机，其定、转子磁场空间保持相对静止［3］。电机转子每分钟转速nr与定、转子导体电流频率fs和fr保持严格的同步关系

其中:电机极对数p，交流绕组相序沿转向的频率为正，否则频率为负;直流(永磁或磁阻)频率为零。

2 同步电机的基本结构

按照励磁形式同步电机的基本结构包括电励磁、永磁励磁、磁阻和混合励磁四种。下面以常用旋转同步电机为例，它由定子三相对称绕组、径向气隙磁场、周向磁场运动和轴向电流所构成，简述这四种基本结构，主要差别在于转子。

2.1 电励磁同步电机结构

电励磁同步电机，如汽轮发电机和水轮发电机，其基本结构是:定子电枢为三相对称交流绕组，转子直流励磁为同心式隐极或集中式凸极磁极结构，如图1所示。径向磁场运动方向是周向，电枢绕组导体电流在槽内沿轴向，载流导体受到的电磁力与磁场运动方向一致。

图1 电励磁同步电机基本结构

2.2 永磁同步电机结构

永磁同步电机定子与电励磁类似，为多相对称交流绕组，转子用永磁磁极取代直流绕组，永磁磁极采用瓦片状或长方体形构成面装式、插入式或内置式三种结构，如图2所示。因此，交流导体电流密度、相对运动速度和磁场空间矢量关系与电励磁相同。

2.3 磁阻同步电机结构

图2 永磁同步电机转子基本结构

图1(c)和图2(b)(c)转子具有凸性，即直轴和交轴磁阻存在显著差异，因此转子被磁化的磁场会引起麦克斯韦电磁应力且存在周向分量。磁阻同步电机就是利用转子软磁材料的交直轴磁阻差异产生周向电磁力。具有显著凸性的磁阻转子结构如图3所示。

图3 磁阻同步电机转子基本结构

2.4 混合励磁同步电机结构

混合励磁同步电机是电励磁、永磁和磁阻三种结构与交流电枢的有机结合。定子为多相对称绕组、转子具有电励磁绕组、永磁和磁阻凸极的展开图如图4(a)所示。如将转子永磁和电励磁转移到定子电枢上，成为转子磁阻型12/10极结构，展开图如图4(b)所示。

图4 混合励磁同步电机基本结构

3 同步电机的结构变换和组装

同步电机的结构变换是对定、转子主体结构有效部分进行坐标变换，而结构组装则是对定、转子主体结构模块的组合。介绍这两部分内容目的是让学生通过简单结构电机的学习，能理解并设计出新颖而复杂结构的电机。

3.1 定转子结构位置变换

四种基本结构按圆柱坐标(r，φ，z)相互变换，而且三个坐标轴方向对应于气隙磁感应强度B，机械运动速度V和导体电流密度J的方向，具体对应关系取决于电机，主体结构(圆筒)尺寸满足-L/2＜z＜L/2，ri＜r＜ro，其中L是轴向长度，ri和ro是内、外半径。

下面从学生易于理解的空间坐标变换的角度来说明同步电机的结构变换，如图5所示。

图5 电机结构位置变换与空间坐标系

(1)图5中，反演变换实现定子和转子空间位置变换，让学生了解既有内转子也有外转子的旋转电机。

反演变换后的坐标 (ρ，φ，z)与(r，φ，z)之间满足

其中ra为电机气隙中心半径或电枢半径。

(2)图5中，对称变换实现气隙磁场的轴向与径向位置变换，让学生了解电枢电流既可以轴向也可以径向流动，即由同轴套装结构变换为同轴叠装结构的盘式电机。

对称变换后的坐标(ρ，φ，zs)与(r，φ，z)之间满足

(3)图5中，伸展变换实现旋转结构变换为平面结构的直线电机，让学生了解直线电机的原理。

伸展变换后的直角坐标(x，y，z)与(r，φ，z)之间满足

(4)图5中，卷绕变换实现平面直线电机与圆筒直线电机的变换，让学生了解不同直线电机结构。

卷绕变换后的坐标系(ρ，φ，zw)与伸展变换后的直角坐标系(x，y，z)之间满足

公式(8)是将平面内的z轴方向卷绕成周向，也可以将平面内的y或x轴方向卷绕成周向，得到轴向(径向)磁场结构，可见伸展与卷绕是两个互逆变换。对圆筒内轴向运动的电机结构再进行反演变换可以得到圆筒外的直线运动结构。

(5)图5中，封闭变换将圆柱结构变换为圆球结构，封闭变换后圆球坐标(r，θ，φ)与原圆柱坐标(r，φ，z)满足

通过对基本结构的反演、对称、伸展、卷绕和封闭变换及其反变换可以得到不同结构的电机，但保持导体电磁力、电流密度和磁场强度三者空间正交性。需要特别强调的是这些变换对新结构电机同样适用。

3.2 结构组装

由基本结构与/或变换结构能组装成新颖而复杂的电机结构，让学生了解这类结构组装电机的设计思想，如各种双定子、双转子电机，同轴电动/发电机等。其中含有磁路独立的“背靠背”结构和磁路耦合的“手拉手”结构。

由一维直线电机还可组合成多轴运动机构电机。

定、转子两个交流电枢构成异步电机。在电励磁凸极低速同步电机中，主磁极表面安放阻尼绕组防止失步。永磁同步压缩机电机的转子将永磁磁极与鼠笼绕组结合。永磁感应风力发电机将永磁转子和鼠笼转子组合构成双转子结构实现变速异步发电。

3.3 电枢和永磁磁极位于同一侧的同步电机结构

由于永磁材料价格昂贵，为了节约永磁材料，对于直线或平面电机来说，通常将短电枢和永磁磁极两者合并在同一侧，而将长定子采用磁阻结构，同时电枢采用集中绕组以减少绕组端部用铜量，如图4(b)所示。这种结构的另一个好处是通过冷却系统改善永磁体温升，防止由于发热而引起退磁的危险。

类似地，平面电机定子采用变磁阻结构，动子采用电枢和永磁结合的励磁形式，如图6所示。

平面电机经过卷绕和封闭变换可获得球面电机结构形式，因球面面积有限，可不用变磁阻而用永磁结构。

图6 平面电机基本结构

4 绕组形式和材料替换

同步电机三相对称绕组可以采用分布绕组，也可以用单层集中绕组(一个齿一个线圈，每个槽一个线圈边)与双层集中绕组(一个齿一个线圈，每个槽左右两个线圈边)，集中绕组的线圈端部没有交叉，因此节省材料，多用于永磁同步电机分数槽绕组;多相对称分布绕组的线圈端部交叉，对称电流产生谐波磁场小;电枢上可以有极对数相同的两套多相对称绕组，如300相位差双三相绕组，以及三相和十五相两套电枢绕组等，多用于船舶电机发电系统交直流供电电源。

常导电励磁绕组可用永磁取代以节省励磁功率，也可用超导取代但需要增加保持超导态的冷却系统。

磁滞同步电机实心圆柱转子既没有绕组和永磁也没有明显的凸极结构，它利用了矫顽力比硅钢片大得多的软磁性材料的磁滞特性。

5 结语

本文在介绍同步电机四种基本结构的基础上，利用电机主体有效部分磁场、速度和电流密度正交性，通过反演、对称、伸展、卷绕和封闭等坐标变换获得新颖电机结构，再通过定、转子模块组合获得更加复杂的电机新结构，不同励磁模式组合获得混合励磁电机结构，最后通过材料替代实现不同场合的应用。这些数学变换、结构组装和材料替换方法也适用于其他类型电机。它提供了一种新颖电机结构和原理的设计思路，有助于拓展学生研究电机的视野和兴趣。

［1］许实章，电机学［M］，北京:机械工业出版社，1982年

［2］周顺荣，电机学［M］，北京:科学出版社，2007年

［3］谢宝昌，电机统一电磁耦合模型研究［J］，南京:电气电子教学学报，第36卷，第5期，2014年