求解标量磁位的一则典型例题

朱 峰 ，林 莉

(西南交通大学电气工程学院，四川成都 610031)

0 引言

标量磁位是建立静态磁场有限元及差分数学模型的基础［1］。标量磁位的拉普拉斯方程+边界条件方法在数值分析中广为运用，对标量磁位方法的深入研究和推广能够进一步扩展其应用［2］。

现有本科强电类工程电磁场教材中，在无电流区域，类比于静电场，尽管都给出了拉普拉斯方程和边界形式，但都没有相应的一维例题和作业题，只有文献［3］提供了一个关于二维标量磁位的例题，但因目前学生基础以及课程量等原因，国内几乎绝大部分高校二维以上求解均没有涉及［3-5］。这里就存在着一个问题，本科基础教学“电磁场”课程与实际电磁场工程相脱节，造成了实际应用与理论学习不连贯，对学生理解标量磁位及进一步应用不利。因此，如何正确使用标量磁位拉普拉斯方程，结合场域边界条件求解磁场问题是值得研究的。

本文给出一则采用标量磁位的拉普拉斯方程+边界条件方法求解空间场分布的典型例题，其物理思想是采用了极限概念，将多连通区域转化为单连通区域。该研究不仅填补了现有教材空白，同时对学生提高运用数学分析问题的能力以及加深对标量磁位方法的理解均大有裨益。

1 典型例题分析

如图1所示，截面为圆环形的中空长直导线，沿轴向流过的电流为I，环导线的内外半径分别为R1、R2，试利用微分方程+边界的方法求导线以外的空间各处的磁场强度。

图1 截面为圆环形的中空长直导线

需要着重说明的是，对于本例的磁场分析，尽管文献［6］采用了矢量磁位的方法，给出了三个区域的磁感应强度的分布，但由于标量磁位只在无电流源区域有定义，所以本文求解区域为ρ≤R1区域和ρ≥R2区域。

采用柱坐标，内外区域的标量磁位应当满足的拉普拉斯方程为

图2 标量磁位分布

积分路径为单连通区域，边界条件为

这里存在一个问题，为什么φm2(2π)=-I?按照φ=0与φ=2π在同一位置，磁位应该相同，即φm2(2π)=φm2(0)=0。

其实从物理的本质看，当初定义φm的时候就已经决定了积分路径只能为无电流分布的区域，积分路径必须留一个缝，φm才有定义。因而在ρ≥R2区域，如果从2π～0进行积分，则越过了物理意义上存在的“火线”，属于积分路径选择错误。为解决这一问题，本文采用极限思想将复连通区域转化为单连通区域进行求解。积分路径为(2π－ε)～0的单连通区域(ε无穷小)，绕行方向与 方向恰好相反，因而电流取为-I。如图3所示。

图3 ρ≥R2区域积分路径

对单连通区域任一点P，标量磁位为

在ε→0的条件下，对上式取极限，得

由上式可以看出，φ=0与φ=2π对应的φm2并不相等，原因是由于物理意义上存在“火线”，积分路径只能选为(2π－ε)～0的单连通区域，ε趋近于0而不能等于零。

带入通解，解得

求解结果与标量磁位+边界条件法结果一致。

但本文重在探究运用标量磁位法求解恒定磁场问题，可以预期，深入研究和推广将使标量磁位法在电磁场学术界和工程界有更广泛的应用。

2 结语

本文通过一则典型例题的求解，分析了标量磁位的拉普拉斯方程+边界条件方法在求解恒定磁场问题中的应用。同时，对该方法中的边界条件，采用极限思想将复连通区域转化为单连通区域进行求解。在采用标量磁位法求解恒定磁场问题时，需注意不能越过物理意义上存在的“火线”，而应转化为单连通区域，从而得出其边界条件，进行求解。最后，采用安培环路定理方法验证了该方法的正确性。该研究不仅填补了现有本科教材关于标量磁位例题的空白，同时对学生提高运用数学分析问题的能力以及加深对标量磁位方法的理解均大有裨益。

［1］倪光正.工程电磁场数值计算［M］.北京:机械工业出版社，2010.

［2］钱金根，倪光正，程卫英.单标量磁位法在静态磁场数值计算中的应用［J］.北京:中国电机工程学报，1995.15(4):228-233.

［3］冯慈璋，马西奎.工程电磁场导论［M］.北京:高等教育出版社，1980:106-117.

［4］倪光正.工程电磁场原理［M］.北京:高等教育出版社，2009:162-163.

［5］雷银照.电磁场［M］.北京:高等教育出版社，2008:146-147.

［6］朱峰，薛诚.平行平面场中磁矢位边界方程的推证［J］.南京:电气电子教学学报，2014，6(3):22-25.