内电感计算的磁链法和能量法的比较

焦重庆

(华北电力大学电气与电子工程学院，北京 102206)

0 引言

电感的计算是“电磁场”课程中磁场部分或电路元件参数计算部分的重要内容之一，而内电感则是电感计算中的难点之一，特别是其中分数匝和部分磁链的概念不易为初学者理解。常见教材中引入内电感的思路一般是内磁通-部分电流-分数匝-内磁链的思路，即磁链法的方法［1-3］。此外，教材中也会在例题中或稍次要的位置上提及内电感计算的另一种方法，即磁场能量法［1-4］。在该方法中，通常将内电感与导线内部空间区域存储的磁场能量关联。本文对能量法的讨论均基于这一前提。教材上给出的内电感计算例子一般主要限于理想化的单根无限长圆截面直导线和同轴电缆两种情况。对于这两种情况，不难证明磁链法和能量法所给出的结果是一致的。然而，对于其它传输结构，这两种方法是否还会给出相同的结果，是值得深思的问题。

考虑到教材中并未给出这两种方法关联性的论述，因此本文就此问题进行扩展讨论。

笔者首先推导了磁通量管内储存的磁场能量的表达式。基于这一表达式，给出了内电感计算和磁链法的磁场能量解释，最终得出了内电感计算的磁链法和磁场能量法的差异:当不存在有穿越导线表面的磁力线时，两种方法的结果是一致的;反之，磁链法的结果大于磁场能量法的结果。

1 磁通量管的磁场能量

如图1所示，磁通量管指的是沿磁力线l走向的闭合管状回路，其内的磁力线均在管内闭合，不存在穿透了管壁的磁力线。同时，穿过通量管的每个横截面的磁通量是相同的。另外为了弱化磁通量管的有限尺寸效应，还假设其横截面的尺寸S是趋于

图1 磁通量管示意图

无穷小的，即所谓的“元”磁通量管模型［1］。通过磁场能量密度wm在磁通量管内部区域的体积分，图1所示磁通量管内储存的磁场能量Wm可以表示成

显然，Ien指的是与磁通量管相交链的电流。

2 磁链法的能量解释

图2显示了磁力线与导线电流的三种可能的交链方式。图2(a)中，磁力线全部在导线外部闭合，与之交链的电流为导线的总电流I。图2(b)中，磁力线穿越导线表面，其一部分在导线外部，一部分在导线内部，与之交链的电流为部分电流Ib。图2(c)中，磁力线全部在导线内部闭合，与之交链的电流为部分电流Ic。

对于图2(a)-(c)所示的三种情况，磁通量管内储存的磁场能量分别为Wma、Wmb和Wmc。

图2 磁力线与导线电流交链的三种情况

若将式(5)中的电流需按总电流I进行归一化，因而有

下面，我们给出一个结论，即磁链法实际上是将所有经过了导线内部的磁力线(图2中(b)和(c))所占据的空间内储存的磁场能量都归算到内电感上。证明如下:

在式(7)的最右边表达的正是内磁链联与分数匝(Ib/I，Ic/I)相乘后得出的“有效”内磁链，而求和运算∑则表示将所有经过了导线内部的磁通量管的有效磁链相加，得出的便是总的有效内磁链，它与总电流I的比值便定义为内电感。显然，这一定义与“电磁场”教材［1-3］上给出的磁链法是一致的。而分数匝引入的原因则是计算电感时需按总电流作参考。

3 磁链法和能量法的比较

如第2小节所述，磁链法等价于计算了所有经过导线内部的磁通量管内存储的磁场能量。而一般意义上的能量法，只考虑了导线内部空间储存的磁场能量，也就是考虑了式(7)中最右边的两项中的第2项的全部，以及第1项所涉及的磁通量管在导线内部的部分。

而能量法中，磁场能量计算的区域是纯粹的导线内部区域［1-3］。因此，磁链法和能量法的差异体现在:当不存在穿越导线表面的磁力线时，两种方法的结果是一致的;反之，磁链法的结果大于磁场能量法的结果，多出的部分来源于穿透了导线表面的磁通量管在导线外部的部分所储存的磁场能量。

对于像圆截面导线、同轴线等轴对称结构，不存在图2(b)所示的磁力线，因此磁链法和能量法给出了相同的结果。图3给出了一根矩形横截面(横截面的边界为图中心的矩形框，其长宽比为2:1)的导线，其上均匀分布的恒定电流所产生的磁场的磁力线分布(Ansys软件仿真得出)。可以看出，在这种横截面非中心对称的导线情况下，一部分磁力线位于导线之内，一部分位于导线之外。此时，磁链法的结果将大于能量法的结果。

4 结语

磁通量管内储存的磁场能量是其磁通量和与之交链的电流的乘积。如果磁通量管从导线内部穿过，与之交链的电流为部分电流。需要将部分电流按总电流归一化是产生分数匝的原因。磁链法计算内电感时，实际上是将所有从导线内部穿过的磁通量管内储存的磁场能量都考虑在内，考虑到能量法中通常只考虑导线内部存储的磁场能量。因此有:当不存在穿越导线表面的磁力线时，两种方法的结果是一致的;反之，磁链法的结果大于磁场能量法的结果。

图3 某横截面为长宽比2:1的矩形的无限长直导线的磁力线分布

［1］倪光正.工程电磁场原理［M］.北京:高等教育出版社，2009.

［2］冯慈璋，马西奎.工程电磁场导论［M］.北京:高等教育出版社，2000.

［3］王泽忠，全玉生，卢斌先.工程电磁场［M］.北京:清华大学出版社，2011.

［4］雷银照.电磁场［M］.北京:高等教育出版社，2008.