少自由度并联机构运动学解析方法研究

孙占胜 梁永生 倪笑宇

（1.张家口市新华建筑设计有限公司，河北 张家口075024；2.河北建筑工程学院 机械工程学院，河北 张家口075024）

0 前 言

并联机构由于刚度高、承载能力强、误差不积累等优点在航空航天、机械制造装备等各个领域得到了广泛的应用［1］.在众多的并联机构中，少自由度并联机构是指自由度小于6的并联机构.当并联机构执行任务不需要全部6个自由度时，少自由度并联机构可以满足使用要求，并且少自由度具有较少的驱动、结构紧凑、构件数少、控制简单等优点［2］.但是由于并联机构动平台的运动是耦合的.导致少自由度并联机构的雅可比矩阵为非6×6的方阵.本文提出了基于约束力、约束力矩的一种少自由度并联机构6×6的雅可比矩阵求解方法.

图1 并联机构组成示意图

1 少自由度并联机构运动学解析

并联机构的组成如图1所示：并联机构由动平台b，静平台B.和连接动平台和静平台的n个分支组成（n＜6，通常分支的个数就是该并联机构自由度）.n个分支分别为b1B1b2B2b3B3、bnBn（b1、b2、b3、bn为动平台上的固定点；B1、B2、B3、Bn位静平台上的固定点）.在动平台上建立和动平台固连的坐标系o－xyz.在静平台上建立和动平台固连的坐标系O－XYZ那么，静、动平台上各端点的坐标可以表示为：

mbi为bi点在o－xyz坐标系中的坐标，bi为bi点在坐标系O－XYZ中的坐标；o为动坐标系原点在静坐标系中的坐标.Bi为Bi点在坐标系O－XYZ中的坐标.BmR为坐标系o－xyz到坐标系O－XYZ的旋转变换矩阵.根据式2可将bi点坐标由o－xyz坐标系转换到O－XYZ坐标系中.

连接点bi和点Bi，生成驱动分支向量，各个分支的向量可以表示如下：

ri为i分支的长度，δi为i分支的单位向量.ei为动平台上bi到o点的向量.

1.1 少自由度并联机构速度分析

此并联机构在工作时，在动平台上装有末端执行器.可以把末端执行器受到的力的作用转化到动平台上，简化为广义力矩阵（F，T）T，同时动平台还要受到沿着n个支腿的支持力.由于此并联机构为少自由度的并联机构.故在某个分支上必然存在着约束力或约束力矩.约束力的个数加上约束力矩的个数加上机构的自由度等于6［3］.各个并联分支由各种运动副组成，例如球副、圆柱副、转动副、移动副、胡克铰.为了确定每个分支中的约束力和约束力矩.把球副等效成三个转动副，把圆柱副等效成一个转动副加一个移动副，把胡克铰等效成两个周线相互垂直的转动副.每个分支中的约束力和约束力矩对，在该分支运动时，对该分支中的每个构件不做功.由此可得约束力，约束力矩方向的判断准则：

①在少自由度并联机构的某个分支中，若存在约束力，则约束力的方向必定和这个并联分支中的所有转动副轴线在同一平面内.而且，约束力的方向和该分支中移动副的方向垂直；

②在少自由度并联机构的某个分支中，若存在约束矩，则约束矩的轴线和该分支中转动副的周线的方向垂直.

假设并联机构动平台的速度为v，角速度为ω，并联机构的动平台的运动可以看作该并联机构某个分支运动的叠加，由于在每个分支中.构件的运动对约束力约束力矩作功为零.所以动平台的运动对约束力和约束力矩做功也为零.得：

Fy为约束力的大小，标量，fi为约束力的方向的单位矢量，di为动平台原点到约束力的矢距.Ty为约束距的大小，为标量.τi为约束矩的方向的单位矢量.式（3）为约束力做功为零的表达式；式（4）为约束矩做功为零的表达式.将以上两式化简并写成矩阵形式.

对于少自由度的并联机构，速度反解（由动平台的速速求解并联分支的速度）可以表达为：

式中νr为各个并联分支的速度，n×1的向量.V为动平台的广义速度，Jα为n×6的矩阵，n为机构的自由度.

结合以上两式可得该并联机构6×6的雅可比矩阵J

1.2 少自由度并联机构加速度分析

设A为动平台的冠以加速度，a为动平台的加速度，ε为动平台的交加速度.式7对时间求导可得：

形成了该并联机构6×6×6的Hession矩阵

2 算例

2.1 3－SPR并联机构速度解析

如图2所示：位3－SPR并联机构，该并联机构由动平台、动平台和三个并联分支组成.每个分支中，自静平台到动平台，运动副依次是球副、移动副、转动副.此并联机构把球副布置在了静平台上，有效地增大了并联机构的工作空间.此并联机构的自有度为3，可以用上面的少自由度并联机构的理论分析次并联机构的运动.该并联机构动平台m，静平台B的三个端点均为等边三角形，三个并联分支SPR联结静平台于A1、A2、A3点.连接静平台于a1、a2、a3点.以动平台的中心o点为原点建立坐标系o－xyz，该坐标系固联与动平台.以静平台的中心B点为原点建立坐标系O－XYZ.该坐标系是固定不动的.

图2 3－SPR并联机构

根据前面的判断准则，在该并联机构的每个分支中存在着过球副中心，并和该分支中移动副的方向垂直，并和转动副的轴线平行的约束力.由于每个分支中的都为5自由度分支，所以每个分支中均存在约束力.由此可判定：每个分支的约束力为过球副中心，方向和转动副的轴线相同.动平台运动时，约束力不做功得：

Ri为第i分支中，转动副的方向矢量.

和此并联机构的速度反解矩阵合成为：

J即为此并联机构的6×6的雅可比矩阵，Ri为第i各分支中转动副的单位向量，ei为动平台上obi向量.

2.2 3－SPR并联机构加速度解析

对式（10）速度为零某一行的部分矢量求导可得：

对于3－SPR式（3－3）结合此并联机构加速度反解公式可得此机构的统一的Hessian矩阵

式中Hα1求解方法可参照文献［4］，H即为此种并联机构的6×6×6的Hession矩阵.

［1］路懿，胡波.少自由度并联机构研究进展［J］.燕山大学学报，2011年9月

［2］刘辛军，汪劲松，等.一种新型三自由度并联机构正反解及工作空间分析［J］.机械工程学报，2001年10月

［3］胡波.基于约束力／矩少自由度并联机构和串联机构理论研究［J］.燕山大学博士论文，2011年6月

［4］Lu Y，Zhang X L.Kinematics／Statics and Workspace Analysis of a 3－Leg 5－DOF Parallel Manipulator with a UPUType Composite Active Constrained Leg［J］.Robotica，2013，31（2）：183～191