优化问题设计 让思维不“抄近路”

朱宇

笔者经常发现有学生在数学学习中喜欢“抄近路”：表达上省略过程，不恰当地简化；思维上浅尝辄止，想当然地认定；方法上自创捷径，不合理地迁移。诸如此类的种种表现直接影响着他们思维的深刻性，破坏了过程的完整性。教师则以尊重学生为由，默许了他们的不规范行为。

学习系统中一旦生成了这些不规范的“快捷”方式，再去纠正就要费些周折。所以笔者以为，教师应从源头出发，从问题预设开始，优化设计，引导学生完善思维历程，规范学习路径。

一、 将问题延迟，经历多元表征

长期以来，学生形成了这样一种解题习惯：遇到一个问题时，首先想到的是怎么算，只关注问题的解决而不关注问题的表征。通过课堂观察，我们发现，当一个实际问题呈现在学生面前的时候，他们的心理指向是“求得结果”而不是分析数量关系。“问”驱使儿童迅速地“答”，让表征数量关系、探索解题路径的过程“缩水”了。

例如，“分数除法”单元中的一道例题（如图1），教材编写者意在用方程刻画已知数量与分率之间的对应关系，从而让学生根据最基本的分数意义来描述数量关系，建立分数乘法的数学模型。

如果从解决问题的角度来考量，用除法解与用方程解没有本质区别。但是从长远来看，这道例题的重点是引导儿童经历建立数量关系模型的过程，进一步体验方程思想对于分数实际问题的价值。然而，教材的良苦用心学生并不理解。列方程解应用题有比较规范的格式，需要设未知数，书写量大，颇费时间。学生不选择列方程，怎么办？硬性规定固然可以，但是学生脑海中留下的不是数学模型，而是不解和埋怨：本题数量关系简单，从问题入手，可以迅速锁定相关条件列式解决，为何要舍近求远？

怎样让学生在丰富表征方式的过程中向方程思想靠拢？经过思考，我们做了如下改进：让问题暂缓出场，只出示表示数量间关系的关键句“小瓶里的果汁是大瓶的■”，以此诱导儿童利用多种表征形式（口头的、图形的、文字或符号的）表征同一关系情境，让他们在读一读、画一画、写一写、议一议中，识别并建立起问题中的等量关系，继而合理利用“关系”来解决问题。因为问题滞后出现，学生的“得数情结”被弱化，画示意图、说关系式，进而加深了对基本的乘法关系式这一数学模型的理解。问题延迟出现，学生经历了对问题的多元表征的实际体验，他们领悟到：分数除法应用题不是新问题，分数应用题没有乘除法之分，有的只是等量关系式中已知数量和未知数量所在位置的不同，等量关系的本质构成是一样的。

再如，在运算定律的教学中，存在着一种认识上的误区：学习运算定律就是为了计算简便，这种片面的理解直接导致了学习行为的草率与盲目。例如有这样一道题：0.8×19+1.2×81，很多孩子因盲目“凑整”而错写成（0.8+1.2）×（19+81）。事实上，乘法分配律的本质是乘法意义的拓展和应用，是沟通乘法与加减法之间联系的一种数学模型。如果只重视引导学生研究规律的外形，特别是盲目追求算得简便，必然会忽视对规律内在本质的探究，导致学生对规律的实质体验肤浅。为此，我们必须把“如何简便”的问题搁置起来，在学生充分感悟算式特点的基础上，引导学生提出猜想、举例验证，从不同形式去表征发现：比如数形结合，借助直观丰富的表象去感悟乘法分配律的内涵；比如语言表征，c组（a+b）“分”成c个a加c个b；c个a加c个b“配”成c组（a+b），对“分配”二字做出个性化的解释；比如引导学生回顾长方形周长的两种算法等知识，既沟通了新旧知识的联系，又让学生经历“从一般到特殊”演绎论证的思维过程，使数学思维得到了提升。

二、 从源头提问，还原过程形态

我们不仅要把握学生的思维动向，考虑问题出现的时机，还要摸清学生的真实想法，提出与学生认知水平相适应的问题，否则会因为问题“急功近利”而让学生无暇关注过程。

例如，关于“平均数”（如图2），长期存在的不良现象是重算法、轻意义，学生一味钟情于先求总数再平均分的方法，拒绝“移多补少”这种求平均数的基本方法。为什么呢？条形图上数据很明显地摆着，问题也在暗示“算”出平均每人套了多少个圈。因此，学生认定：“算”肯定比“移”快捷。

实际上，图中四位学生套圈的个数比较接近，非常适合运用移多补少的方法。所以，我们对例题进行了适度的改造：遮住条形统计图纵轴上的刻度，同时改变问题的提法：你能把男生套圈的个数“平均”一下吗？现在，直接的数据没有了，学生首先感知到的是高低错落的方块图，客观上营造了“移多补少”的氛围。在“移多补少”的过程中，学生的思维回到了“平均”意义的原点：“平”就是“拉平”，移多补少；“均”就是“相等”。将直接指向结果的可视条件“遮一遮”，凸显了平均数的本质特征，学生增强了过程体验，触摸到了知识本质。

也就是说，我们对问题做出改变，目的在于顺着学生的思维展开教学，让教学的指向与学生思维发展的进程合拍，这样学生就能在目标引领下一步步经历过程。

在教学中常常会出现这样的情况：某一个新知识学习之初，由于水平所限，学生愿意循着一定的道路艰难探寻，而一旦到了新知形成阶段，比如单元复习，学生往往会寻捷径直奔主题。

例如，在“乘法”单元复习中，有这样一道习题（如图3）：

题目意图很明显：用估算预测，用计算验证。然而，此时学生已经掌握了笔算方法，还形成了一定的心算技能。读完题目，学生立即迫不及待地动笔算起来。试想：结果已呼之欲出，学生怎么可能视而不见“舍近求远”地先估后算呢？对此，我将三轮车和小床的价格表示为21元和40元，因为情境提供的数据具有不确定性，“逼”着学生自觉选择估算策略。学生在实际运用中体验到用估算解决问题的实用性和便捷性，自觉选择了先估后算的方法。

三、 有意识追问，拓展思维空间

如果学生在思考过程中缺乏深度，对事物的分析、认识只停留在某一个层面，主要原因就是教师的课堂提问没能扣准学生思维的特点。所以，学生思维的深入需要教师有意识地追问和引导，通过对问题价值的发掘，帮助他们在更高层次上展开有根据的思考。

例如，教材“认识比”中的一道习题（如图4）。

结合图片和文字说明，不难确定每一种溶液当中“洗洁液”与“水”的比。因此，括号内的文字纯属画蛇添足。基于这些考虑，我们重新设计了问题：一是隐去括号内的文字注释，让学生到图中去“检索”哪个是洗洁液，哪个是水，在自我选择中强化对前项、后项的感知与鉴别，加深对比的意义的认识；二是把卡通猫提出的问题改成：四幅图中洗洁液并不相等，可是为什么都用“1”来表示呢？引导学生感悟每个比当中前项与后项相互依存、对立统一的关系。

再如，许多教师在探索平行四边形面积计算公式的过程中，往往对数方格这一活动不太重视，认为它繁琐，耗费时间，而实际上，在数方格的不同方法的反馈中，学生感受到只有将图形左边的三角形整体移到右边，才能方便地看出图形中包含了多少个面积单位，这就是“割补”转化的理论基础。所以，课堂上我适时呈现方格图，再移入平行四边形，在学生反馈数方格方法的过程中，我不但问“有多少个方格”，还进一步追问“有没有更好的数法？”这样设问使全体学生潜移默化地感受到了转化的思想，使“沿着高剪开”成为理所应当的需要。

“抄近路”的做法虽然可以省时、省力，但是它同时也省略了最有价值的探索过程。所以从长远来看，它不是走向成功的捷径，而是使思维陷入停滞的迷途。问题是数学的心脏，问题设计应该扣准学生思维的起点，引发学生主动思维的发生，使学生思维深刻地发展。

【责任编辑：陈国庆】