Bose爱因斯坦凝聚中孤子研究现状分析

田 强，徐 权

(1.北京师范大学 物理系，北京100875;2.大庆师范学院 机电工程学院，黑龙江 大庆163712)

0 引言

Bose 爱因斯坦凝聚是当今世界上众多实验小组所青睐的课题，这是因为bose 爱因斯坦凝聚提供了用物质波研究非线性效果的唯一可能性。同时，也有力地支撑了非线性原子光学新领域的研究。在绝对零度时，GP 方程对bose 爱因斯坦凝聚的动力学行为的描述是精确的。对于均匀凝聚体的情况(外势为零或为常数)，GP 方程就是一标准的非线性薛定谔方程。由非线性光学，我们知道，这样的波方程的一个重要特点，就是它具有物质波孤子。作为非线性效应的一个重要方向孤子在bose 爱因斯坦凝聚的研究中具有重要地位。

在非线性光学中，由传播介质的非线性作用引起了对波包的自聚焦相应，平衡了色散和衍射造成波包扩散而形成光学孤子。在bose 爱因斯坦凝聚中，产生这种等价于自聚焦效应的非线性效应，来自于凝聚原子之间的两体相互作用。当它抵消波包的扩散作用后就形成了物质波孤子。但是，对于不同的性质的原子之间相互作用会形成不同的物质波孤子。当原子间相互作用为排斥时，GP 方程具有暗孤子;当原子间相互作用为吸引时，GP 方程具有亮孤子。围绕bose 爱因斯坦凝聚(BEC)中孤子这一主题，人们做了大量的理论和实验工作。

1 BEC 暗孤子的研究现状

1999年，Burger S.和他的合作者，在87Rb 原子的bose 爱因斯坦凝聚中首次实现了暗孤子［1］。2000年Denschlog J.工作组利用Na 原子也实现了物质波暗孤子［2］。这两个实验都是通过相位印记(phase imprinting)的方法来实现物质波暗孤子。暗孤子的特征就是由相位决定的，因此，加入一个合适的初相位分布就成为了产生暗孤子的自然的方式。这种思路是在文献［3］中提出的，在文献［1－2］中实现的。

这种方法将一个短持续时间的激光脉冲加入到雪茄型凝聚体的一部分中，因为可以在不改变凝聚体密度的前提下，印记一个增加的相位。它最初是被建议用来在bose 爱因斯坦凝聚中产生涡旋。在这两个实验中他们发现，只有当凝聚体的密度包络上凹痕处的凝聚体密度为零时，暗孤子才是静止的，并且此时被这一凹痕分为两个部分的bose 爱因斯坦凝聚的相位精确相差π。一般随着凹痕的深度由大到零的变化会引起暗孤子的速度由静止到接近声速的相应变化。

暗孤子是凝聚体本身密度缺损的一种表现。它仅仅只能存在于凝聚体的内部。在bose 爱因斯坦凝聚中，暗孤子的一个重要特征是它的速度小于Bogoliubov 声速其中g=(4πh2as)/m，as代表原子间散射长度，n=| ψ0|2是凝聚体基态的粒子数密度。这样，暗孤子的运动速度v 可以由相位差δ(0 ＜δ ≤π)或者暗孤子的深度来nd表示，有:

此处，暗孤子的深度nd指的是凝聚体基态的粒子数密度n 与暗孤子底部粒子数密度之间的差值。当δ=π 时，暗孤子的速度为零，而且其底部的粒子数密度也为零。即此时暗孤子的底部没有粒子，暗孤子的深度nd=n。随着相位差δ 的减少，速度会逐渐增大，慢慢接近Bogoliubov 声速，此时暗孤子开始变浅变宽，直到消失。

到目前为止，在bose 爱因斯坦凝聚中产生暗孤子的方法可以分为三类:1)相位engineering 技术，这是控制bose 爱因斯坦凝聚密度的主要直接技术;2)密度engineering 技术，这也是控制bose 爱因斯坦凝聚密度的主要直接技术;3)量子态engineering 技术，这种技术结合了前两类技术。

2 BEC 物质波亮孤子的研究现状

与暗孤子是凝聚体本身密度缺损的一种表现相比，亮孤子本身就是凝聚体，所以，它更容易稳定地存在并较长时间地传播。亮孤子能较长时间存在的这种性质，在量子信息的理论研究中有着非常重要的意义，增大了其作为链子信息载体的可能性，亮孤子存在及其维持的条件、孤子间的相互作用、孤子的传播速度与其耗散的关系等的理论研究都对利用bose 爱因斯坦凝聚这种宏观量子态作为量子信息载体的可行性以及可操作性研究有着重要的指导作用。另外，原子的耗散、关联效应以及物理过程的演化和控制都是学者们感兴趣的热点问题。

然而，相对于暗孤子，人们对物质波亮孤子的研究则相对稍晚些。原因在于当凝聚体原子间的相互作用为吸引时，维系孤子稳定凝聚原子数必须在一个临界值范围内，并且二维和三维情形中，凝聚体存在的塌缩现象，导致相应的物质波亮孤子不能稳定存在。但是在准一维情况下，吸引的玻色爱因斯坦凝聚还是可以稳定的。故亮孤子可从中形成。另外在二维情况下，还可以通过快速振动原子间相互作用来稳定二维亮孤子［4］。在实验［5，6］中，Strecter K.E.和Khaykovich L.等人，就是利用7Li 原子在准一维光学阱中生成了物质波亮孤子和孤子链，并且观察了他们的传播过程。

理论和实验研究表明只要凝聚体的原子数目超过某一临界数目，都会塌缩，只有有限数目原子的凝聚体通过阱的束缚才可以稳定存在。当非线性相互作用与色散相互补偿时，孤子就可形成。对雪茄型凝聚体而言，吸引相互作用势凝聚体被限制在一维方向上运动，当吸引的相互作用能补偿波色的色散时，即可形成稳态孤子。由于GP 方程在一定条件下，可以转化为一维非线性薛定谔方程，所以获得不同类型非线性薛定谔方程的严格解。对于研究玻色爱因斯坦凝聚行为具有非常重要的意义。

近年来，我国沈阳材料科学国家(联合)实验室梁兆新、张志东与北京凝聚态物理国家实验室刘伍明合作，运用达布变换法给出了一个意味非线性薛定谔方程的严格解。他考虑了在一个排斥势中，原子间相互作用随时间变化的原子间的相互作用的玻色爱因斯坦凝聚的亮孤子的动力学问题，他们研究发现，在亮孤子中原子数可以保持一个动力学平衡，在亮孤子和背景间存在一个时间周期的原子的交换，并且，在一定参数范围内，亮孤子可以通过增加原子的散射长度被压缩成非常高的局域性物质密度。同时，该研究提供了实验方式来确认GP 方程的应用范围，并可以实现对玻色爱因斯坦凝聚体的压缩和控制。

另外，物质波隙孤子在近几年也得到广泛研究。理论上，处于光晶格势中的凝聚体由于存在能带和能隙结构，预言在能隙中可以存在物质波隙孤子［9］。这一预言不就后得到了验证。

3 结语

总之，对于玻色爱因斯坦凝聚中孤子问题的研究无论在理论上还是在实验上，都主要包含三个方面:

1)孤子的产生和形成;

2)物质波孤子的相干演化以及在探测过程中的相干效应;

3)非相干演化，孤子的耗散。

对于孤子产生问题，我们在暗孤子研究现状中就提到了三种方法，“相位印记，密度工程技术，以及量子态工程技术”。而孤子的相干演化指的是在耗散发生前的演化过程，在较短的时间内，GP 方程可以为玻色爱因斯坦凝聚孤子的动力学演化给出准确的描述。其中包含了孤子对、孤子链的产生以及每个孤子之间的相互作用。孤子的耗散效应包括了动力学不稳定性和热力学不稳定性。动力学不稳定性是由于孤子是一维客体，当存在于高维情况时，他们的稳定性就会强烈依赖于凝聚体几何性质。对于充分拉长的凝聚体，它的横向囚禁非常强，使得横向不可能被激发，因而孤子是动力学稳定的。相反当横向囚禁较松时，横向容易被激发，从而导致孤子的蛇形不稳定性，导致孤子退化为声子和更稳定的结构，如涡旋和涡旋环。对应动力学不稳定性的孤子的耗散行为相干，却又不稳定地演化，可以利用GP 方程描述。热力学不稳定性的存在，是由于孤子是平均场理论中凝聚体的一种集体激发态，因此，会在短时间内衰减到基态，其中包含了声子的散射，此时的耗散的研究将和孤子与热云的相互作用有关，所以不能再用GP 方程来描述，而是用Bogoliubov－de Gennes 方程来描述。

［1］Burger S.，Bongs K.，Dettmer S.，et al.Dark Solitons in Bose－Einstein Condensates.［J］.Phys.Rev.Lett.，1999，83:5198.

［2］Salasnich L.，Parola A.and Reatto L..Effective wave－equations for the dynamics of cigar－shaped and disc－shaped Bose Condensates［J］.Phys.Rev.A.，2002，65:043614.

［3］Buger S.，Carr L.D.，Ohberg P.，et al.Generation and interaction of solitons in Bose－Einstein Condensate［J］.Phys.Rev.A.，2002，65:043611.

［4］Xing－Hua H.，Xiao－Fei Z.，Dun Z.，et al.Dynamics and modulation of ring dark solitons in two－dimensional Bose－Einstein condensates with tunable interaction［J］.Phys.Rev.A.，2009，79:023619.

［5］Strecker K.E.，Partridge G.B.，Truscott A.et al.Formation and propagation of matter－wave soliton trains.［J］.Nature，2002，417:150.

［6］Khaykovich L.，Schreck F.，Ferrari G.，et al.Salomon Formation of a Matter－Wave Bright Soliton［J］.Science 2002，296:1290－1293.