非高斯噪声下信号盲检测算法

冯士民，周穗华，应文威

(1.海军工程大学 兵器工程系，湖北 武汉430033;2.91635 部队，北京102249)

甚低频和超低频通信系统中，受雷电等产生的大气噪声的影响，噪声往往具有明显的非高斯特性，即时域上呈现“高尖峰”特性，频谱上呈现“重拖尾”特性。传统的线性接收机或高斯接收机在非高斯噪声环境下性能急剧恶化，严重影响通信系统的正常工作，因此为了实现信号的最佳接收，需要对噪声进行建模和参数估计［1-4］。对超低频大气噪声的建模，包含有限混合高斯模型、对称α 稳定分布模型和高斯尺度混合(Gaussian scale mixture，GSM)分布模型等［5-7］。由于对称α 稳定分布模型及部分GSM 模型没有二阶矩，不能定量表示噪声功率，因此，笔者在对噪声建模时，采用有限混合高斯模型。同时，在信号检测方法上，采用传统的最大期望算法或最大似然估计设计信号检测算法［8-10］，由于该模型参数较多，其概率密度计算难度大，精度也不够理想。马尔可夫链蒙特卡罗(Markov chain Monte Carlo，MCMC)算法能够解决具有高维度且形式复杂的未知参数的后验概率计算问题，是一种在统计计算中性能优越的方法［11-12］。因此，笔者基于MCMC 方法设计了信号在非高斯噪声下的盲检测算法，其迭代收敛快，精度高，具有明显的优势。

1 信号检测模型

1.1 系统模型

在瑞利平坦衰落信道下，分段处理的时间段内信道衰落系数不变，认为发送端信号叠加噪声就是接收端信号，因此建立信号检测模型：

式中：S1，S2，…，SN为发射端信号;X1，X2，…，XN为接收端信号;N1，N2，…，NN为噪声;a为信道衰减系数。因为甚低频、超低频信号传输速率较低，在实际接收信号时会对信号进行多次采样，当对每个符号采样M次时，Si=［Si1，Si2，…，SiM］T，Xi=［xi1，xi2，…，xiM］T，Ni=［ni1，ni2，…，niM］T。因为MSK 调制方式可以分解为两路正交的BPSK 调制，所以在基带上对信号检测时，Sij∈{1，-1}，i=1，2，…，N，j=1，2，…，M。即在一个采样周期内，发射信号Si1=Si2=… =SiM，而接收端信号xi1，xi2，…，xiM由于噪声ni1，ni2，…，niM不同，是不相等的。

式(1)中，序列Xi是已知的，衰减系数a、序列Si和Ni未知。在对信号检测时，需要根据已知序列Xi，在准确估计衰减系数a和噪声序列Ni的前提下，实现对信号序列Si的检测。

1.2 噪声模型

有限混合高斯模型，理论上可逼近任意概率密度分布，如式(2)所示，其中，=dist为相同分布。

式中：N(0，)为第l个0 均值的高斯分布;为方差;ωl为第l个高斯分布的权重，并且满足

对于噪声数据集{nij}，引入类别指示变量T={tij，i=1，2，…，N，j=1，2，…，M}对nij进行类别分组，当nij属于第l个高斯分布N(0，σ)时，tij的取值为l，tij满足：

根据式(2)和式(3)，可得出噪声序列的等效表达式为：

因此，根据式(1)和式(4)，信号检测模型表达式最终等效为：

2 贝叶斯估计

信号检测方法中，贝叶斯估计理论通过当前信息和先验分布，推断后验分布，被认为是最优的信号检测方法。贝叶斯公式的表达式为：

信号检测模型中，X为观测值，即接收的当前信息。{a，，ω，T，S}为需要估计的参数集。根据式(6)，{a，，ω，T，S}的后验分布为：

为了合理地利用先验信息，需对每个参数选取合适的先验分布。先验分布中，共轭先验分布保证了参数的后验分布和先验分布在同一分布族，可使贝叶斯估计的效率显著提高。

参数a的共轭先验分布为高斯分布，可取a：N(μ，δ2);参数σ-2l的共轭先验分布为伽马分布，可取σ-2l：Γ(αl，βl)，其中αl和βl分别为伽马分布的形状参数和逆尺度参数;参数ω 的共轭先验分布为狄利克雷分布，可取ω：D(η，…，η)。

对于信号Si，通常认为各个符号以等概率发射，因此Si取先验分布：

为了直观表述信号检测模型中各参数之间的关系，画出模型参数的直接非循环图，如图1 所示。其中μ，δ2，αl，βl，b，η 为先验信息，X为观测值，即当前信息。设E{a，}，E的超参数φ={μ，δ2，αl，βl}，则根据图1 参数的直接非循环图，式(7)可以扩展为：

图1 信号检测模型参数的直接非循环图

3 盲检测算法设计

信号检测采用马尔可夫链蒙特卡洛(MCMC)算法实现在所有参数未知情况下的信号检测。在MCMC 算法中，常采用Gibbs 抽样和Metropolis -Hasting(M-H)抽样算法对更新参数进行抽样。在所设计的算法中，由于共轭先验分布的引入，则对所有参数的后验概率均可采用Gibbs 抽样。算法通过有限次数的参数更新使得待估参数值收敛，参数收敛后的每次采样值即可看作目标分布的采样值，这部分采样值的平均值即可作为参数的估计值。算法在t步的流程如下：

(1)通过Gibbs 抽样更新类别指示变量T;

(2)通过Gibbs 抽样更新参数ω;

(3)通过Gibbs 抽样更新参数a;

(5)通过Gibbs 抽样更新信号Si。

算法在t+1 步时，采用t步更新过的模型参数，重复上述步骤进行新一次的更新，直至各参数收敛。

3.1 通过Gibbs 抽样更新类别指示变量Ttij的后验概率为：

式中，P(tij=l|…)为除了T之外所有变量的条件后验概率。

根据式(10)计算出后验概率后，采用Gibbs抽样，即通过生成U(0，1)均匀分布的随机数，确定P(tij=l|…)对应的区间来更新tij的取值，并分别统计tij=l的数量为nl。

3.2 通过Gibbs 抽样更新参数ω

因为ω 的共轭先验分布为狄利克雷分布，所以其后验概率分布仍服从狄利克雷分布：

式中，nl为属于N(0，)的观测值数量。采用Gibbs 抽样，通过式(11)生成新的狄利克雷分布随机数抽取ω 的新值，并用新值更新旧值。

3.3 通过Gibbs 抽样更新参数a

因为参数a的共轭先验分布为高斯分布，所以其后验概率分布仍服从高斯分布：

其中：

采用Gibbs 抽样，在式(12)新生成的高斯分布中抽取参数a的新值，并用新值更新旧值。

3.4 通过Gibbs 抽样更新参数

其中：

采用Gibbs 抽样，在式(15)新生成伽马分布中抽取参数σ的新值，求逆后用新值更新旧值。

3.5 通过Gibbs 抽样更新信号Si

信号Si的后验概率为：

其中，1 =［1，1，…，1］为1 ×M的序列。根据式(18)和式(19)计算出后验概率后，采用Gibbs抽样，即通过生成U(0，1)均匀分布的随机数，对信号Si进行判决，然后更新Si的值。

4 仿真及测试

4.1 模型验证

图2 为实测的大气噪声数据。当有限混合高斯噪声模型中取k=2 时，用算法估计出的噪声参数为ω =［0. 021 9，0. 978 1］，=489. 617 8，=7.118 3。

图3 为实际噪声的幅度概率分布和采用算法估计参数的噪声的幅度概率分布。其中，X轴坐标为- 0.5lg(- lnP(|x| ＞x0))，Y轴坐标为10lg(x0)dB。可以看出，其幅度概率分布与实际噪声的幅度概率分布有较好的吻合度。

图2 实测大气噪声数据

图3 实测噪声和估计噪声的幅度概率分布

4.2 参数估计

4.3 误码率测试

为了测试盲检测算法的性能，对盲检测算法的实际误码率与理论误码率进行比较。理论误码率为已预知模型准确参数情况下，对信号进行检测的误码率。采用k=2 的混合高斯模型时，噪声功率的计算公式为En=ω1+ω2，由该噪声功率来定义信噪比。

图8 为不同权重ω 下，盲检测算法的误码率与理论误码率比较。从图中可以看出：①随着信噪比的增大，信号检测的误码率降低，并且ω1越小，误码率性能越差。这是因为ω1越小，非高斯部分噪声所占比例越大，误码率性能越差，说明影响误码率性能的主要是非高斯噪声所占比例。②在低信噪比段，当ω1较小时误码率性能优于ω1较大时的误码率性能;在高信噪比段，ω1较大时的误码率性能优于ω1较小时的误码率性能。③在不同权重下，信号检测算法的误码率始终与采用真实噪声参数下信号检测的误码率一致，与信噪比大小无关，表明了算法的有效性和精确度。

图8 不同ω 值下盲检测算法误码率与理论误码率性能比较

图9 为不同过采样率M下，盲检测算法与最优检测的误码率性能对比，由图9 可知：①随着信噪比的增大，信号检测的误码率降低，且过采样率越大，误码率性能提高越明显。②在低信噪比段，过采样率较小时误码率性能优于过采样率较大时的误码率性能;在高信噪比段，过采样率较大时的误码率性能优于过采较小时的误码率性能。③无论信噪比的大小，在不同过采样率下，信号检测算法的误码率始终与真实噪声参数下信号检测的误码率一致，表明了算法的有效性和精确度。

图9 不同过采样率下盲检测算法误码率与理论误码率性能对比

5 结论

笔者根据实际甚低频和超低频接收机中噪声的特点，采用有限混合高斯模型建立信号检测模型，在贝叶斯层次模型下，设计了MCMC 算法，通过Gibbs 抽样算法，同步检测信道衰落系数、噪声模型参数和信号。通过对实测噪声数据对比分析，说明该模型对接收机中实际接收的噪声有较好的适用性。对算法性能进行仿真分析，结果表明，MCMC 算法迭代效率和精度高。在不同噪声模型参数ω 和过采样率M下，盲检测算法的性能都逼近最优检测的性能，对甚低频和超低频非高斯噪声下信号接收有实际的意义。

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