追及和相遇问题解题策略剖析

郝龙奇

追及和相遇是我们在中学阶段经常遇见的运动问题。此类问题一般可以分为直线运动中的追及和相遇问题、平抛运动中的相遇问题、天体运动中的相距最近和最远问题等。求解此类问题需要我们根据问题的实质，理清运动的状态，抓住求解的关键，应用相应的规律。现举例分析如下。

一、直线运动中的追及和相遇问题

解题策略：直线运动中的追及问题是指两物体在同一直线上运动，后者追及前者；直线运动中的相遇问题的实质是两物体同时到达空间某一位置。解答直线运动中的追及和相遇问题，需要抓住两物体速度满足的临界条件，并理清运动过程中的时间关系和位移关系，然后画出运动示意草图，找到两物体位移之间的关系，进而求解相关问题。

例 1 在平直公路上，一自行车与同向行驶的汽车同时经过某点，从此时开始计时，自行车的位移髓时间变化的关系为x1=6t，汽车的位移随时间变化的关系为求：

（1）经过多长时间自行车追上汽车？

（2）自行车追上汽车时，汽车的速度多大？

（3）白行车追上汽车前，两车之间的最大距离为多少？

解析：（1）当自行车追上汽车时，两车的位移相等，设经过时间t1自行车追上汽车，有6t1=lOtl-

（2）根据x2=lOt-可知，汽车的初速度v2o=10m/s，加速度a=-0.5m/s?，汽车速度减小到零用时。因此白行车追上汽乍时汽车仍在向前行驶，汽车的速度v2=v2o+at1=2m/s。

（3）自行车追上汽车前，两车的速度相等时，两车之间的距离最大。由x1=6t可知，自行车做匀速运动的速度V1=6m/s。两车的速度相等，即v1=v2o+at2，解得t2=8s。此时汽车行驶的距离x2=10t2，自行车行驶的距离x1=6t2=48m，两车之间的最大距离△x=x2-x1=16m。

点评：自行车与汽车在同一直线上同向行驶，由两车的位移随时间变化的关系可知，自行车做匀速直线运动，汽车做匀减速直线运动。自行车与汽车的追及问题主要考查的是同学们对匀速直线运动和匀变速直线运动相关规律的掌握程度。

二、平抛运动中的相遇问题

解题策略：平抛运动中的相遇问题包括两个做平抛运动的质点相遇，做平抛运动的质点与做，竖直上抛运动的质点或做自由落体运动的质点相遇，做平抛运动的质点与做直线运动的质点相遇等。解答平抛运动中的相遇问题要依据两质点同时到达同一位置这一特点，利用位移关系求解。

例 2 导弹防御系统可用于抵挡外来的入侵导弹。假如雷达监测发现在距地面高度为h的M处以水平速度vo向某地目标的P处飞来入侵导弹，获得情报后经过信息处理，选择适当的时机，在M、p之间距M点水平距离为L的水平地面上的N处竖直向上发射一枚导弹进行拦截，其运动的加速度为a。（导弹在运动过程中受到的空气阻力大小不汁，重力加速度为g，导弹可以被视为质点）

（1）若入侵导弹恰好击中目标，求M、P间的水平距离。

（2）雷达监测获得情报后，经过多长时间发射导弹进行拦截才能成功？

解析：（1）入侵导弹做平抛运动，则，，解得M、P间的水平距离。

（2）设经过时间△t发射导弹进行拦截才能成功，入侵导弹飞行的时间，下落的距离h1=

点评：入侵导弹做的是平抛运动，拦截导弹做的是竖直上抛运动，求解二者的相遇问题需要判断二者之间的位置关系，然后根据相关知识列式求解。

三、天体运动中的相距最近和最远问题

解题策略：天体运动中的相距最近和最远问题，与地面上的追及和相遇问题在思维上有些相似之处，即也是找出一些物理量的关系，但它也有其自身特点。根据万有引力提供向心力得G，解得，所以当天体的速度增大或减小时，对应的圆周轨道会发生相应的变化，天体不可能在同一轨道上追及或相遇。分析天体运动中的相距最近和最远问题的重点是对角度、角速度和时间等关系的判断。

例 3 如图1所示，两颗卫星在同一轨道平面上绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面的高度为3R，则：

（l）a、b两卫星的周期之比Ta：Tb是多少？

（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，则a卫星至少经过多少个周期才能使两卫星相距最远？

解析：（1）a卫星的轨道半径为2R，b卫星的轨道半径为4R，由2可得，a、b两卫星的周期之比Ta

（2）设经过时间t二者第一次相距最远。若两卫星同向运转，如图2所示，则a卫星比b卫星多转半

点评：解答第2问时要注意两卫星运行的方向可能相同，也可能相反，周密考虑，才能正确解答。

跟踪训练

1.公路上有一汽车车队以10m/s的速度匀透行驶，相邻汽车间的距离为25m，后面有一辆摩托车以20m/s的速度同向行驶，当摩托车距离车队最后一辆车25m时刹车，以0.5m/S?的加速度做匀减速直线运动，摩托车在车队旁边行驶而过，设车队车辆数足够多，试问：

（1）摩托车最多与几辆汽车相遇？

（2）摩托车从赶上车队到离开车队，共经历多长时间？

2.如图3所示，四分之一圆弧轨道OA与水平轨道AB相切，它们与另一水平轨道CD在同一竖直面内，圆弧轨道OA的半径R-0.45m，水平轨道AB的长度s1=3m，轨道OA与AB均光滑。一滑块从0点由静止释放，当滑块经过A点时，静止在轨道CD上的小车在F=l.6N的水平恒力作用下启动，运动一段时间后撤去力F。当小车在轨道CD上运动了S2=3.28m时速度v=2.4m/s，此时滑块恰好落人小车中。已知小车质量M=0.2kg，与轨道CD间的动摩擦因数μ=0.4，取g=10m/s?。求：

（1）恒力F的作用时间t。

（2）轨道AB与CD的高度差h。