双机驱动无摆动振动机的自同步理论研究*

李 鹤， 刘 丹， 赵春雨， 闻邦椿

(东北大学机械工程与自动化学院 沈阳，110819)

双机驱动无摆动振动机的自同步理论研究*

李 鹤， 刘 丹， 赵春雨， 闻邦椿

(东北大学机械工程与自动化学院 沈阳，110819)

对一种双机驱动无摆动振动机的自同步理论进行了研究。该振动机由内、外两个质体组成，两偏心转子的旋转中心与内质体质心在同一条竖直轴上，使得两偏心转子的惯性力对该轴的力矩为零，从而消除了振动机的摆动。首先,利用拉格朗日方程建立了振动机的运动微分方程，分别得到了振动机运动自同步及其稳定性条件;然后，通过数值方法验证了理论分析的正确性，并发现系统的自同步能力与两偏心转子质量比正相关，与竖直方向频率比、共振激励角、内质体与振动系统质量比负相关。

自同步运动； 振动机； 稳定性； 振动同步传动

引 言

自同步振动机械的发明源于自同步现象。Huygnens最早发现了机械系统的振动自同步现象。他把两个钟摆并排悬挂在同一木梁上，两个钟摆在摆动一段时间之后实现了同步摆动。Rayleigh等在非线性电路中发现了同步现象，并称这种现象为“频率捕获”。20世纪60年代，Blekhman等[1-3]提出了双偏心转子振动机的同步理论。当安装在同一振动体上的两台感应电动机在具备一定条件时，可实现同步运转。当系统受到外界干扰导致两电机的转速或相位差发生变化时，系统可以通过自我调整而重新回到同步状态。对于已经实现同步运转的系统，如果切断一台偏心电机的电源，两台电机仍然能够同步运行。Wen Bangchun[4]发现，在某些非线性振动系统中，通过调节系统参数，可以实现各次谐波的倍频同步。Zhao Chunyu等[5-7]利用改进的平均小参数法发展了双电机驱动和四电机驱动振动机的自同步理论，并深入阐述了振动机的耦合动力学特性和动态对称性，通过数值模拟分析了电机的自同步过程，从转速和相位差两个方面验证了两个电机可以实现自同步运动[8]。此外，很多学者还研究了系统参数对自同步运动及其稳定性的影响。韩清凯等[9]以反向回转激励的振动系统为对象，建立了考虑驱动电机机械特性的动力学方程，通过数值仿真计算, 研究了激振器的偏心矩、电机功率、偏心转子回转摩擦阻矩等参数对自同步运动的影响。Yamapi等[10]分析了系统的质量、刚度和激振器参数之间的相互影响的规律，讨论了双激振电机的耦合同步过渡过程。

在双机驱动的振动机自同步运动过程中，由于两个偏心转子相位不一致，振动机的直线振动会伴随摆动，即振动机绕一水平轴做往复运动，它会使振动机不能完全按照所需要的振动方向振动，有可能影响振动机筛分或输运等工艺效果。笔者对一种双机驱动无摆动振动机的自同步理论进行了研究。该振动机由内、外两个质体组成，两偏心转子的旋转中心与内质体质心在同一条竖直轴上，使得偏心转子的惯性力对该轴的力矩为零，从而消除该振动机的摆动。

1 振动机的自同步理论

图1为双机驱动无摆动振动机的动力学模型，由内质体m1、外质体m2以及两偏心转子m01和m02组成。内质体m1在x和y方向分别通过弹簧kx和ky与外质体m2相连接，外质体m2支撑在弹性基础kz上，且在x和y方向被固定。两偏心转子分别由感应电动机1和2驱动，对称安装在内质体m1质心O所在水平面xOy的两侧，其旋转平面与该水平面成δ角(共振激励角)，且两偏心转子旋转中心与内质体质心在同一条竖直轴上，因此，偏心转子对该竖直轴产生的力矩为零，从而消除了该振动机的摆动。俯视时，两偏心转子同向回转。

图1 振动机的动力学模型Fig.1 Dynamic model of the vibrating mechanism

利用拉格朗日方程，可得到振动机的运动微分方程。

(1)

其中：M1为振动系统在x，y方向的振动质量，M1=m1+m01+m02；M2为振动系统在z方向的振动质量，M2=m1+m2+m01+m02；kx，ky，kz为振动系统在x，y，z方向弹簧刚度；fx，fy，fz为振动系统在x，y，z方向阻尼系数；f1，f2为两电动机的阻尼系数。

利用平均小参数法可以得到偏心转子的无量纲耦合方程，再由该耦合方程零解的存在条件可以得到振动机实现自同步运动的条件为

(2)

其中：TS为振动机的同步力矩；ΔTR为两电机剩余电磁转矩差。

式(2)表明，振动机的同步力矩大于或者等于两电机剩余电磁转矩差的绝对值，和文献[8]所得结论一致。

将振动系统的同步力矩与作用在两电机上负载力矩的比值定义为振动系统的同步能力系数ζ[7]

(3)

其中：TL为振动系统作用在两电机上的负载力矩。

(4)

其他参数为

Ws0=rma(μxcos2δsinγx+μysinγy+σμzsin2δsinγz)

Wc0=rma(μxcos2δcosγx+μycosγy+σμzsin2δcosγz)Wcs=ηrma(μxcos2δsinγx+μysinγy-σμzsin2δsinγz)

Wcc=ηrma(μxcos2δcosγx+μycosγy-σμzsin2δcosγz)

将式(4)代入式(3)可得

(5)

同步能力系数ζ表示振动传送力矩克服两电动机电磁转矩实现同步的能力，当其值大于1时表示系统可实现振动同步传动，即一个电动机停止电源供电，系统仍然可保持同步运行[7]。

根据劳斯-胡尔维茨判据可以得到振动机同步运行稳定条件为

(6)

其中：H=4H1H2-H0H3；H0，H1，H2，H3为无量纲结构参数η，σ，rma，δ，nz的函数。该稳定性条件和文献[11]所得结论一致。

2 振动机的自同步运动的数值分析

2.1 振动机的自同步运动

设计内质体的质量m1=2 200 kg，外质体的质量m2=300 kg，两偏心转子的质量m01=40 kg，m02=40 kg，偏心距r=0.2 m。从而可确定振动系统的结构参数：η=1.0，rma≈0.017 5，σ≈0.883 7。选取两电机为鼠笼式三相异步电动机(380 V，50 Hz，6-pole，Δ连接)，电机1(3.7 kW，980 r/min)，电机2(0.75 kW，980 r/min)。为了使振动系统在z方向达到共振以获得足够大振幅，选取系统结构参数nz=0.99，nx=ny=4.0，ξx=ξy=ξz=0.07。分别选取共振激励角δ=20°和δ=10°，并在6 s时撤去电机2的电磁转矩及9 s时对偏心转子2施加10°的相位扰动，数值仿真结果如图2、图3所示。

由图2可知：当共振激励角δ=20°时，振动系统经过4 s左右，两电机转速达到相同，约为989.4 r/min，此时两偏心转子相位差稳定在182.3°左右，此时振动系统为π相位同步；当6 s撤去电机2的电磁转矩时，两电机的同步转速下降并稳定在988.0 r/min,而两偏心转子相位差增加并稳定在183.1°左右；当9 s对偏心转子2施加10°的相位扰动时，两偏心转子相位差变为193.1°，两电机转速也发生波动，但经过约1 s后恢复到受干扰前的稳定状态。由图2可知，当共振激励角δ=20°时，振动系统可实现π相位同步运行、振动同步传动以及对相位扰动的抗干扰能力即同步运行的稳定性能力。

图2 δ=20°时振动机自同步运动数值仿真结果Fig.2 Results of numerical simulation for the synchronization motion of the vibrating mechanism with δ=20°

图3 δ=10°时振动机自同步运动数值仿真结果Fig.3 Results of numerical simulation for the synchronization motion of the vibrating mechanism with δ=10°

由图3(a),(b)可知：当共振激励角δ=10°时，振动系统经过3.2 s左右，两电机转速达到相同，约为994.0 r/min，此时两偏心转子相位差稳定在181.1°左右；当6 s撤去电机2的电磁转矩时，两电机的同步转速下降并稳定在993.0 r/min,而两偏心转子相位差增加并稳定在181.6°左右；当9 s对偏心转子2施加10°的相位扰动时，两偏心转子相位差变为191.6°，两电机转速也发生波动，但经过约1 s后恢复到受干扰前的稳定状态。由图3可知,当共振激励角δ=10°时，振动系统可实现π相位同步运行、振动同步传动以及对相位扰动的抗干扰能力即同步运行的稳定性能力。

由图3(c),(d),(e)可知，振动系统达到自同步运动时，在x和y方向的振幅接近于0，z方向振幅为0.83 mm，实现z方向振动。当撤去电机2的电磁转矩和施加相位扰动后，虽然系统在各方向的振动发生波动，但都能在很短的时间内恢复到稳定状态。这说明系统达到自同步时，可以实现稳定的z方向振动，并具有较大振幅。

2.2 振动机自同步能力及其稳定性

选取系统结构参数：nx=ny=4，ξx=ξy=ξz=0.07，通过数值方法可得同步能力系数ζ与两偏心转子质量比η以及z方向频率比nz、共振激励角δ和内质体与振动系统质量比σ的关系，如图4所示。

图4 自同步能力系数与系统结构参数的关系Fig.4 Relation between the self-synchronization ability coefficient and the structural parameters of the vibrating mechanism

由图4(a)，(b)可知：在振动系统参数nz=0.99,σ=0.9条件下，当两偏心转子的质量相等(即η=1.0)时，振动系统的同步能力系数ζ达到最大；而随着振动系统共振激励角δ的增大，同步能力系数ζ迅速减小；当两偏心转子的质量相等且振动系统共振激励角为0(即η=1.0，δ=0)时，同步能力系数ζ趋于无穷大。进一步分析图2和图3可知，虽然当共振激励角分别为δ=20°和δ=10°时，振动系统均可实现π相位同步稳定运转，但是，在满足振动系统能够实现振动同步传动的范围内，共振激励角δ越小，振动系统越容易实现稳定同步运转，从系统启动至达到同步所需的时间越短，两电机的同步转速越快，两偏心转子的相位差越接近π。

由图4(c)，(d)可知：在振动系统参数η=1.0，δ=π/8条件下，随着工作频率趋近于振动系统在z方向的固有频率，即nz趋近于1.0，同步能力系数ζ迅速减小；随着振动系统在x，y方向的振动质量趋近于z方向的振动质量，即σ趋近于1.0，同步能力系数ζ缓慢减小。

由图4可知，同步能力系数ζ的值与振动系统的结构参数有关，其中，振动系统共振激励角δ和振动系统在z方向频率比nz对同步能力系数ζ影响显著。适当地增大两偏心转子的质量比η，减小系统共振激励角δ，减小振动系统在z方向频率比nz以及减小振动系统在x，y方向的振动质量与在z方向的振动质量的比值σ，均能提高同步能力系数ζ的值。

振动系统实现自同步时，由系统同步运行稳定性条件知：当H0>0,H1>0,H3>0,H>0时，系统稳定运行。H0，H1，H3，H为无量纲结构参数η，σ，rma，δ，nz的函数，设两偏心转子的质量比η=1.0，振动系统在x，y方向的振动质量与在z方向的振动质量的比值σ=0.9，z方向频率比nz=0.99，可得系统自同步运动稳定性参数H0，H1，H3，H的数值计算，结果如图5所示。

图5(a)为rma=0.05时，H0，H1，H3，H随δ的变化情况。由图可知，随着δ的增大，H0，H1，H3，H始终大于0。因此，系统实现的自同步运动是稳定的。

图5 自同步运动稳定性参数H0，H1，H3，H的数值仿真结果Fig.5 Results of the numerical simulation for self-synchronization motion stability parameters H0, H1,H3and H

图5(b)为δ=0.1π时，H0，H1，H3，H随rma的变化情况。由图可知，随着rma的增大，H0，H1，H3，H始终大于0，即系统实现的自同步运动是稳定的。

以上结果表明，振动系统的结构总能够保证满足式(6)的条件要求，即自同步运动总是稳定的[6-7]。

3 结 论

2) 通过数值仿真证明了该振动机能够实现π相位同步、振动同步传动、同步运行的稳定性。

3) 振动机的同步能力系数ζ为系统结构参数(两偏心转子质量比η、竖直方向频率比nz、共振激励角δ和内质体与振动系统质量比σ)的函数，且ζ与η为正相关，与nz，δ和σ均为负相关。

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2013-04-18；

2013-06-25

TH113

李鹤,男，1975年10月生，教授。主要研究方向为非线性振动、机床动力学。曾发表《Self-synchronization of two parallel-axis unbalanced rotors in a vibration system of spatial motion》(《International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation》2010,Vol.11,No.11)等论文。 E-mail: hli@mail.neu.edu.cn