大修改结构特征向量重分析的混合基展开法*

刘志军， 邓兆祥

(中国汽车工程研究院汽车噪声振动和安全技术国家重点实验室 重庆，400039)

大修改结构特征向量重分析的混合基展开法*

刘志军， 邓兆祥

(中国汽车工程研究院汽车噪声振动和安全技术国家重点实验室 重庆，400039)

为拓展基于矩阵摄动理论的结构重分析方法在实际工程中的适用范围，提高重分析计算精度，针对结构模态空间不完备和参数大修改提出了结构动力重分析的混合基展开法。利用已知的少数几个可能不连续的低阶模态构造出整个模态空间的一个混合基，同时将反映结构参数改变的质量矩阵和刚度矩阵的增量表示为高次增量形式，保留了经典摄动法简单易行的特点。数值算例表明，所提出方法适用范围广，极大提高了结构大修改下的动力重分析计算精度。

结构动力重分析； 结构大修改； 矩阵摄动法； 混合基展开法

引 言

结构动力修改和结构优化设计需要快速而高效的重分析技术来减少计算成本，提高工作效率。国内外许多学者对快速重分析的计算方法做过研究。矩阵摄动法[1]在结构重分析中经常使用，在此基础上有理逼近法[2-4]、Shanks变换[5]、Epsilon算法[6-7]和动力缩聚与瑞利商法[8]等，被用来提高重分析的精度。近年来，组合近似法因其简单、通用和高效等优点在很多领域得到应用并获得不断改进[9-14]。对实际的大型工程结构，要求出其全部模态，计算量非常庞大，往往只求得其少数低阶模态。基于实验模态的结构修改存在着实验模态难以测全和很难保证所测得的各阶模态为连续低阶模态的问题。在这些情况下，现有的基于全模态展开的重分析方法根本无法实现。文献[15]基于传统矩阵摄动理论，将已知的有限低阶模态扩充得到N维欧氏空间的一个混合基，并将特征向量的摄动量在新基上展开来计算特征向量的1，2阶摄动量。但是，传统经典摄动法仅适用于结构的小修改重分析，当结构参数修改较大时，计算精度变差，甚至变得没有意义[1]。

笔者从经典矩阵摄动理论出发，首先，采用高次增量法将反映结构参数改变的质量矩阵和刚度矩阵的增量分别表示为小参数ε的1次与2次幂项之和；其次，利用已知的少数几个低阶模态构造出整个模态空间的一个混合基，把特征向量的摄动量表示为该混合基的线性组合；最后，推导得到孤立特征值及特征向量的2阶摄动解，极大提高了结构大修改下的重分析计算精度。

1 矩阵摄动法

离散结构振动特征值问题为

(1)

其中：K为刚度矩阵；M为质量矩阵；λ=ω2；u为振型向量。

设结构修改后的质量矩阵、刚度矩阵表示为

(2)

(3)

其中：ε为小参数，与ε=0对应的系统称为原系统；M0和K0为原结构的质量矩阵和刚度矩阵；εM1+ε2M2和εK1+ε2K2分别代表两者的变化，且当dεM1+ε2M2→0和εK1+ε2K2→0时，M→M0，K→K0；εM1和ε2M2分别为质量矩阵的一次增量和二次增量；εK1和ε2K2分别为刚度矩阵的一次增量和二次增量。

假设原结构的特征值λ0i是特征方程的单根的情形，其相应的特征向量为u0i，它们满足式(1)。根据摄动理论，将修改后结构的特征值λi和特征向量ui按小参数ε展开为幂级数，即

(4)

(5)

将式(2)～式(5)代入式(1)，并令方程两端ε的同次幂的系数相等，得

(6)

(7)

(8)

特征向量ui应满足正则化条件

(9)

将式(2)和式(5)代入式(9)，得

(10)

(11)

(12)

(13)

1.1 混合基的构造

假设修改前结构的已知模态个数为q，它们不一定是相邻的q个低阶模态，记为u01，u02，…，u0q，相应的特征值分别为λ01，λ02，…，λ0q，并假设这q个已知模态关于结构修改前的刚度矩阵K0和质量矩阵M0是正交归一的。

将q个已知模态按行排成一个q×N的矩阵，记为A，即

(14)

矩阵A是行满秩，记为

(15)

由于M0是实对称正定的，从而q×N阶矩阵B也是行满秩的。将矩阵B写为如下分块形式

(16)

求解下列矩阵方程

(17)

按分块乘法，由式(17)可得

(18)

(19)

(20)

其中：r=q+1,q+2,…,N；p=q+1,q+2,…,N；δrp为Kronecker符号函数。

1.2 1阶摄动量的混合基展开法

将特征向量的1阶摄动量u1i关于混合基展开

(21)

将式(21)代入式(7)，得

(22)

(23)

当j=i时，从式(23)可解得关于特征值λi的1阶摄动量

(24)

当j≠i时，从式(23)可解得式(21)中系数bij为

(25)

将式(21)代入式(12)，可得

(26)

(27)

其中：i=1,2,…,q；j=q+1,q+2,…,N。

1.3 2阶摄动量的混合基展开法

将特征向量的2阶摄动量u2i关于混合基展开

(28)

将式(28)代入式(8)，得

(29)

(30)

当j=i时，从式(30)可解得关于特征值λi的2阶摄动量

(31)

当j≠i时，从式(30)可解得式中系数dij

(32)

将式(28)代入式(13)，可得

(33)

(34)

其中：i=1,2,…,q；j=q+1,q+2,…,N。

从式(4)、式(24)和式(31)可以看出，结构修改后特征值λi的2阶摄动解只与修改前相应特征向量u0i有关。从式(5)、式(21)和式(28)可以看出，结构修改后特征向量ui的1阶摄动解和2阶摄动解都与修改前模态空间全部基向量相关。

2 算例分析

图1 平面框架结构Fig.1 Plane frame structure

取如下的误差模来比较文献[1]和本研究方法关于特征向量的重分析精度

(35)

其中：整数I=1,2，分别对应于文献[1]和本研究方法；uEk表示修改后结构的第k个精确特征向量；uIk表示由第I种方法计算的结构修改后第k个特征向量的近似值。

从表1中的数值结果可以看出：无论结构参数改变多少，本研究方法计算精度全部高于经典摄动法；随着结构参数改变增大，两种方法计算误差均有所增大；经典2阶摄动法在结构参数改变量超过30%以后，计算结果误差急剧增大，而本研究方法在结构参数改变60%时计算得到的前3阶固有频率的最大误差也未超过4.0%。因此，本研究方法的适用范围更广，适用于结构大修改情况。

3 结束语

笔者针对结构修改和模型校正中存在的模态空间不完备的问题，从线性空间的角度出发，利用已知的少数几个可能不连续的低阶模态构造出整个模态空间的一个混合基，同时将反映结构参数改变的质量矩阵和刚度矩阵的增量表示为高次增量形式，不但保留了经典摄动法简单易行的特点，还提高了摄动解的精度并扩大了适用范围，能够用来解决工程结构大修改情况下的近似重分析问题。

表1 固有频率和振型向量误差比较

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.03.026

*国家重点基础研究发展计划(“九七三”计划)资助项目(2010CB736104)

2013-04-09；

2013-05-25

O302

刘志军，男，1976年4月生，副教授。主要研究方向为结构动力学分析与优化设计、汽车振动分析。曾发表《超长斜拉索张力振动测量的传递矩阵法》(《振动、测试与诊断》2012年第32卷第4期)等论文。 E-mail：uliuzj@163.com