分式方程的增根与无解

赵密密

分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清. 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等. 它包含两种情形：（1）原方程化去分母后的整式方程无解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解.

例1 （2014·山东聊城）解分式方程：+=-1.

解：去分母得：-（x+2）2+16=4-x2，

去括号得：-x2-4x-4+16=4-x2，

解得：x=2，

经检验x=2是增根，分式方程无解.

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根. 本题转化的整式方程的解是x=2，恰好使公分母为零，所以x=2是原方程的增根，原方程无解.

例2 解分式方程：=+2.

【解析】去分母后化为x-1=3-x+2（2+x）.

整理得0x=8.

因为此方程无解，所以原分式方程无解.

【点评】本题化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了. 由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根.

例3 （2013·山东威海）若关于x的方程=无解，则m=_______.

【解析】原方程可化为=.

方程两边都乘2（x-5），

得2（x-1）=-m.

解这个方程，得x=.

因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根. 即x=5，

解得m=-8.

【点评】本题考查了分式方程的解. 方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解. 但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，这里不再举例.

例4 （2005·江苏扬州）

若方程-=1有增根，则它的增根是（ ）.

A. 0 B. 1

C. -1 D. 1或-1

【解析】原方程化成整式方程：

6-m（x+1）=x2-1，

整理得：m（x+1）=7-x2，

当x=-1时，此时m无解；

当x=1时，解得m=3.

【答案】B.

【点评】增根除满足最简公分母为零以外，还必须是所化整式方程的根.

例5 当a为何值时，关于x的方程+=会产生增根？

【解析】方程两边都乘（x+2）（x-2），得2（x+2）+ax=3（x-2），

整理得（a-1）x=-10， ①

若原分式方程有增根，则x=2或-2是方程①的根.

把x=2或-2代入方程①中，解得a=-4或6.

【点评】此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值.

例6 当a为何值时，关于x的方程+=无解？

【解析】方程两边都乘（x+2）（x-2），得2（x+2）+ax=3（x-2）.

整理得（a-1）x=-10， ①

若原方程无解，则有两种情形：

（1）当a-1=0（即a=1）时，

方程①为0x=-10，此方程无解，

所以原方程无解.

（2）如果方程①的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解.

原方程若有增根，增根为x=2或-2，

把x=2或-2代入方程①中，

求出a=-4或6.

综上所述，a=1或a=-4或a=6时，原分式方程无解.

【点评】本题弄清分式方程的增根与无解的区别和联系，能帮助我们提高解分式方程的正确率，对判断方程解的情况有一定的指导意义.

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）