数学求异性思维的发现与探究

2017-07-19 02:09刘国林
新教育时代·教师版 2017年23期
关键词:公分母正整数分母

刘国林

一次批改中,一道“在 和 之间填入一个分数”的题目,多数同学用通分方法求得:

> ,通分后 > ,推得 > ,找到所填数 ,即 > > 。但偶尔发现一个同学填 >( )> 。我问他,他说是把分子相加1+1=2做分子,分母相加2+3=5做分母,得到 > > 的。这样做对吗?于是我用30做公分母,通分验证得到 > > ,可见在 和 之间填 是正确的。而后我又举例验证:在 和 之间填一个分数,使得 >( )> ,按上面学生的方法 = ,我把 >( )> ,通分验证得出: >( )> ,即 >( )> 正确。那么这种解法具有可靠性吗?于是我又做了如下推广证明:假设 > (a、b、c、d均为正整数,且a、c不为0),那么 > > 。

证明(1)因为 > (已知),用ac做公分母通分得 > ,推得bc>ad(同分母分数比较大小,分子大的分数值大);(2)求证 > 是否成立。

证明(2):将 > 通分得 >

推得b(a+c)>a(b+d)(分母相同,分子大的分数值大),展开后得ab+bc>ab+ad。左右两边同时减去ab推得:bc>ad,这个结果与已知条件推得证明(1)结果相同,证得 > 成立。求证(3) > 是否成立。

证明(3):将 > ,通分得 > ,

推得:(b+d)c>(a+c)d,展开后得bc+cd>ad+cd (分母相同,分子大的分数大),两边都减去cd推得bc>ad。与证明(1)推得结果相同。

此结论与已知条件推得结果相同,证得 > 成立。所以经证明得知,如果 > (a、b、c、d均为正整数,且a、c不为0),那么 > > 成立。

为此,我确信“在两个不等的分数之间填上一个分数,或几个分数”的题目,不但可以用通分方法解答,还可以用“两个分母和做分母,两个分子和做分子”的方法,写出之间的分数,而且这种方法比通分方法更快捷。

例如:在 与 之间依次填出5个分数

即: > > > > > > 。

但这种方法有局限性,如果在两个不等分数之间填十几个或更多的分数,就不如通分方法快捷了。

如在 和 之間填分数时之间

填1个分数的公分母:6*(1+1)

填2个分数的公分母:6*(1+2)

填3个分数的公分母:6*(1+3)

填n个分数的公分母:6*(1+n)

当 > (a、b、c、d均为正数,a、c互质且均不为0)时,之间

填1个分数的公分母:ac*(1+1)

填2个分数的公分母:ac*(1+2)

填3个分数的公分母:ac*(1+3)

填n个分数的公分母:ac*(1+n)

如在 和 之间依次填出10个分数,用通分的方法就比较快。要填入10个分数,他们的公分母应是2*3(10+1)=66, = , = .那么在 和 之间填的10个分数依次是 > > > > > > > > > > > .

再如,在 和 之间一次填出100个分数,其中最小的是多少?最大的是多少?利用“分子相加得分子,分母相加得分母”的方法就更难以解决了。而利用通分方法就很容易。方法是所有分数公分母是:2*3*(100+1)=606,

= , = ,在 和 之间填入100个分数中最小的是 ,最大的是 .

经历批改中的发现和偶得,不仅使我获得学生成长的惊喜,也收获了教学相长的快乐与思考。感谢学生求异性思维的发现与探究。

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