空间映射粒子群算法用于电磁优化计算

楼 群田雨波邱大为刘 东王兆尹

空间映射粒子群算法用于电磁优化计算

楼 群1，2田雨波1邱大为1刘 东1王兆尹1

（1.江苏科技大学电子信息学院，江苏镇江212003；2.南京大学电子科学与工程学院，江苏南京210046）

将粒子群算法与空间映射算法相结合，提出了一种空间映射粒子群优化算法，并用于电磁问题的优化计算.算法实现过程中，将电磁仿真计算中精确网格剖分的计算模型作为精确模型，将粗糙网格剖分计算模型作为粗糙模型，在粒子群算法中计算粒子适应度前，使用粗糙模型结合基于卡尔曼滤波的映射关系，估计出粒子是否对算法最优解更新有效，并对有效的部分粒子做适应度计算，可以很大程度上减少算法的计算耗时.通过E型贴片天线和谐振腔缝隙天线的优化仿真说明了本算法的有效性.

粒子群算法；空间映射；电磁优化

引 言

粒子群优化算法（Particle Swarm Optimiza－tion）PSO是一种群体智能优化计算方法，其思想来源于自然界中鸟类捕食，最早由美国的Kennedy和Eberhart教授于1994年提出［1］.PSO算法是求解域的直接迭代优化算法，且算法参数较少，易于实现，其一经提出就备受众多学者关注.对于PSO算法，已经提出了多种改进粒子群算法来提高优化收敛速度，如根据群体适应度方差自适应变异的PSO［2］、停滞检测的PSO算法［3］、量子PSO算法［4］、小波变异PSO算法［5］.

目前，使用智能优化算法优化设计电磁问题渐渐成为一种主流的优化设计方法，而粒子群算法又是一种备受推崇的简单直接的智能优化算法.近些年，许多文献将粒子群及其改进算法用于优化计算电磁问题并取得了较好的效果［6］，如文献［5］采用小波变异粒子群算法优化直线天线阵列，文献［7］使用PSO算法优化倒L天线阵列，文献［8］采用多目标粒子群算法优化平面螺旋天线等等.但是，由于电磁仿真计算耗时长，计算强度大，使用粒子群算法等智能优化算法优化电磁问题所需要的计算时间难以忍受.对于电磁快速优化计算，Bandler于1994年一种空间映射算法［9］，使用计算速度快、精度差的粗糙模型辅助优化计算，从而大幅减少计算时间.之后，该研究组又分别于1995年和2000年提出渐进空间映射［10］和隐式空间映射［11］.近期，文献［12－13］使用了全波分析以及临近域估计的方法建立粗糙模型，这种建立粗糙模型的方法十分富有借鉴意义；文献［14］提出了一种反向线性输入、神经模糊输出的2D－3D空间映射算法；文献［15］提出了一种三水平输出空间映射算法；文献［16］使用傅里叶变换后的散射场作为空间映射算法的输入和输出；文献［17］基于统计模型提出了一种可移植的空间映射算法.上述空间映射算法及其后续改进算法的文献都不可否定地证明了，空间映射思想在电磁问题快速计算中的高效性和鲁棒性［18－19］.

在粒子群算法的粒子迭代计算过程中使用了空间映射思路.估计粒子是否对算法寻优有效，这使得算法的每次迭代只需对算法寻优可能有效的粒子进行精确仿真计算，将一部分需要精确仿真计算的计算量替换为粗略计算和数学估计，粒子群算法便可在很大程度上减少计算量、提高计算效率.

1 空间映射粒子群算法

1.1粒子群算法中的空间映射关系

考虑到粒子群算法优化的电磁模型是任意的，需要一个对于任意电磁模型都存在的粗糙模型，该模型应该具有相比精确仿真计算耗时少的特点.对此，借鉴文献［20］，使用粗糙网格剖分的计算结果作为粗糙模型，用来辅助粒子群算法优化计算.

首先建立一个线性系统模型［21］，将粗糙模型计算结果视为系统观测值，精确模型计算结果视为系统状态值，采用卡尔曼滤波［21－22］便可从已知的系统观测值（粗糙模型计算结果）估计出系统状态值（精确计算结果），建立映射关系.这里系统的状态方程为

式中：x（t）为粒子群第t次精确模型计算结果矢量；y（t）为t次粗糙模型计算结果矢量；u（t）为t次计算误差矢量，认为其为随机矢量.注意到空间映射算法中u（t）的均值不一定为零矢量，即不满足：

对此，将矢量u（t）分解为

式中：w（t）为非随机矢量，v（t）为均值为零矢量的随机变量，满足：

令z（t）＝y（t）－w（t），式（1）变换为

则卡尔曼滤波估计的迭代公式如下：

在已知粗糙模型计算结果的基础上，可以通过式（6）和式（7）估计出精确计算结果.由于卡尔曼滤波具有估计问题鲁棒性很高的优点，故由粗糙模型估计出的精确计算结果在一定程度上可以代表精确计算结果.

1.2空间映射粒子群算法

对于粒子群算法的每次迭代过程，由于卡尔曼滤波有着很高的鲁棒性，可以假设在相邻迭代次数下，精确模型计算结果与粗糙模型计算结果之差基本满足同一分布概率，且均值、方差相同，这种假设可能在开始搜索时误差较大，但是随着粒子群算法的收敛，粒子将渐渐地在很小的范围内运动，这时上述假设会大幅提高估计精度，即在预测估计随着粒子群算法的收敛而变得越来越精确.实际上，在粒子群算法的搜索初期，粒子与粒子之间的适应度差距较大，因而精度稍差的预测估计并不会导致算法的前期预测估计有着较大的误差，而在粒子群算法搜索趋近于收敛的过程中，预测估计的精度随之提高，刚好可以满足精确搜索的要求.这样，可以使用上一次迭代过程中样本所含信息（均值、方差等），并基于卡尔曼滤波估计理论，估计出本次精确模型与粗糙模型计算结果之差.又注意到，当认为相邻的迭代次数中精确模型与粗糙模型的计算结果误差的均值与方差基本相同时，可以将第t－1次迭代中计算过的精确模型与相应的粗糙模型作对比，求出误差的均值与方差，并保留此次迭代完成后预测的精确模型值（t｜t）以及参量P（t｜t），将其作为第t次粒子群迭代时预测估计误差所需要的初始条件，得到了式（4）中w（t）、G（t）以及式（7）中（0｜0）、P（0｜0）.

基于上述思路，空间映射粒子群算法步骤如下：

1）对电磁问题进行建模，确定优化问题的求解空间，根据粗糙网格剖分建立粗糙模型，确定粗糙模型网格细化次数以及满足问题要求精度的精确模型网格细化次数.

2）初始化粒子群算法参数，设定迭代次数、粒子群大小、求解空间、初始化粒子位置，计算粒子的精确模型适应度以及粗糙模型适应度，根据计算结果，求解精确模型与粗糙模型适应度之间误差的均值、方差，设定卡尔曼滤波初始状态参量.

3）依照粒子群的迭代更新公式（8），更新粒子位置，并求解粗糙模型适应度，使用卡尔曼滤波估计的映射关系公式（6），估计精确模型适应度.

式中：变量ω取为1－0.6（i／NP），i为迭代次数，NP为粒子群最大迭代次数；c1，c2，c3为常数；lbest为每个粒子搜索过的个体最优位置矢量；gbest为所有粒子搜索过的全局最优位置矢量；v（i），p（i）分别为粒子第i次迭代时的速度矢量和位置矢量.

4）根据估计的精确模型适应度，判断哪些粒子可能更新全局最优解与个体最优解，对于可能更新算法最优解的那些粒子，求解其精确模型适应度，更新估计误差参数.

5）使用步骤4）中求解的精确模型适应度，判断是否可以更新全局最优和个体最优，若是则更新全局最优和个体最优.

6）判断粒子群算法是否满足迭代次数，若是则输出结果，算法结束；否则返回步骤3）.

算法流程图如图1所示.

图1 空间映射粒子群算法的流程图

客观上，基于上述思路提出的空间映射粒子群算法，会在相对较小地牺牲了智能算法所不敏感的计算精度前提下，极大降低优化计算量.又注意到，上述算法的核心在于卡尔曼滤波估计建立起的映射关系，而卡尔曼滤波估计是信号处理理论的一种数据估计方法，其表征在样本的概率统计上，故此种方法所建立起的映射关系可以认为与获取粗糙模型的方法无关，在电磁问题中，其表现为可适用于各种不同的电磁数值计算方法所获取的粗糙模型.

2 优化计算实例

为了证明上述提出的空间映射粒子群算法的有效性，本文对两个电磁模型分别做了仿真计算.因为基于卡尔曼滤波估计的映射关系与电磁模型的计算方法无关，故这里采用商业电磁软件HFSS做有限元电磁计算，将其第三次、第六次网格剖分结果分别作为粗糙模型计算结果和精确模型计算结果，通过HFSS的vbs接口实现优化仿真计算.

2.1E型贴片天线的优化仿真

图2给出的E型贴片天线为本文所要优化的第一个电磁模型，图中x1，x2，x3，x4是优化变量；W为2.55mm，由端口阻抗50Ω确定；介质板厚度为0.8mm，采用材料Rogers RT／duroid 5880，其相对介电常数为2.2；粒子搜索空间为｛x｜［8，1.5，1.5，1.5］＜x＜［15，5，5，5］｝，粒子群算法迭代次数设为100，种群个数设为15.

图2 E型贴片天线模型

在10GHz处优化计算天线S11参数，适应度取为

对于上述E型贴片天线的优化问题，图3为计算结果，其中图3（a）为总精确计算次数与有效精确计算次数曲线，图3（b）为适应度收敛曲线.从图3（a）中可以看出，随着算法的迭代，所估计出需要精确计算的粒子数量在200～250之间，且总的精确计算次数与有效的精确计算次数相差不大，这证明了基于卡尔曼估计的映射关系有着不错的效果.从图3（b）可以看出算法已经趋于收敛.在本次仿真计算中，总共精确计算227次，其中125次对粒子群算法更新全局最优和个体最优有效，计算粗糙模型1 500次，且最后适应度函数为17.7，若不使用空间映射思路则需要运算精确模型1 500次.可以得出结论，基于卡尔曼滤波估计所建立的空间映射关系有着较好的效果，且空间映射粒子群算法相比粒子群算法优化效率得到了大幅提高.

图3 E型天线10 GHz优化结果

同样，本文对上述E型贴片天线在11GHz处再次进行了优化计算，计算结果如图4（a）和图4（b）所示.在本次仿真计算中，总共计算精确模型125次，其中66次计算对粒子群算法更新全局最优和个体最优有效，计算粗糙模型1 500次，最后适应度为19.9，若不使用空间映射思路则需要运算精确模型1 500次.同样可以得出结论，基于卡尔曼滤波估计所建立的空间映射关系有着较好的效果，空间映射粒子群算法相比粒子群算法优化效率得到了大幅提高.

图4 E型天线11GHz优化结果

2.2谐振腔缝隙天线的优化设计

为了进一步证明算法的有效性，再次优化计算一种谐振腔缝隙天线.根据天线辐射原理，在谐振腔上开一缝隙，使其辐射电磁波，即为谐振腔缝隙天线，如图5所示.试图优化此模型，使其达到最优效果，优化参数是x1、x2、x3、x4、x5，其搜索空间为｛x｜［16，15，2，5，5，0.2］＜x＜［19，19，6，15，15，2］｝.同样，W为2.55mm，由端口阻抗50Ω确定；介质板参数与2.1中E型贴片天线相同.

图5 谐振腔缝隙天线模型

对于此算例，首先优化设计出谐振频率为9 GHz的谐振腔缝隙天线.此为5维优化问题，设置种群个数为15，算法迭代70次.仿真计算结果如图6所示.从图6（a）可以看出，随着算法的迭代，所估计出需要计算精确模型的粒子数量在140～160之间.从图6（b）可以看出，算法已经趋于收敛.在本次仿真计算中，总共计算精确模型152次，其中134次计算对更新全局最优和个体最优有效，计算粗糙模型1 050次，且最后适应度函数达到84.0，若不使用空间映射思路则需要运算精确模型1 050次.可以得出结论，基于卡尔曼滤波估计所建立的空间映射关系有着较好的效果，且空间映射粒子群算法相比粒子群算法优化效率得到了大幅提高.

图6 缝隙天线9 GHz优化结果

同样，对上述谐振腔缝隙天线在11GHz进行了优化计算.设置迭代次数为100次，种群大小为15，搜索空间与上次相同，仿真计算结果如图7所示.在本次仿真计算中，总共计算精确模型64次，其中49次计算对粒子群算法更新全局最优和个体最优有效，计算粗糙模型1 500次，最后适应度函数达到29.1，若不使用空间映射思路则需要运算精确模型1 500次.同样可以得出结论，基于卡尔曼滤波估计所建立的空间映射关系有着较好的效果，且空间映射粒子群算法相比粒子群算法优化效率得到了大幅提高.

图7 缝隙天线11 GHz优化结果

3 结 论

本文提出了一种空间映射粒子群算法，通过使用粗糙的网格剖分和卡尔曼滤波空间映射关系辅助精确计算，极大地提高了电磁优化问题中的计算效率，其相对较小地牺牲了智能计算中不敏感的计算精度，极大地降低了计算量.文中分别对一般的E型贴片天线及自设计的谐振腔缝隙天线两个电磁模型做了四组优化计算，从仿真结果可以看出，本文提出的空间映射粒子群算法有着较好的优化效果，且可以极大地减小优化计算时间.

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Space－mapping particle swarm optimization on electromagnetic optimization

LOU Qun1，2TIAN Yubo1QIU Dawei1LIU Dong1WANG Zhaoyin1
（1.School of Electronics and Information，Jiangsu University of Science and Technology，Zhenjiang Jiangsu 212003，China；2.School of Electronic Science and Engineering，Nanjing University，Nanjing Jiangsu 210046，China）

This paper proposes a kind of space－mapping particle swarm optimization by combining space－mapping with particle swarm optimization（PSO）.In this algorithm，accurate－mesh simulation is regarded as accurate model，and coarse－mesh simulation is regarded as coarse model.Estimation of accurate result is gotten by Kalman filter mapping relation and coarse model，which can determine whether the particle is efficient for updating PSO or not，before calculating the fitness of each particle in PSO.This，in turn，can avoid the simulation of inefficient particle at some level，directly leading to reducing the computation of PSO.Simulations of E－kind patch antenna and cavity slot antenna proof the efficiency of the algorithm.

particle swarm optimization；space－mapping；electromagnetic optimization

TN802

A

1005－0388（2015）02－0217－07

楼 群（1989－），男，江苏人，南京大学博士研究生，目前主要研究方向为计算智能和天线优化设计.

田雨波（1971－），男（满族），辽宁人，江苏科技大学教授，博士，2009年到美国UCLA做访问学者，目前主要研究方向为计算智能应用于电子学与电磁学问题.

邱大为（1989－），男，江苏人，江苏科技大学硕士，目前主要研究方向为微带天线优化设计.

楼 群，田雨波，邱大为，等.空间映射粒子群算法用于电磁优化计算［J］.电波科学学报，2015，30（2）：217－223.

10.13443／j.cjors.2014042801

LOU Qun，TIAN Yubo，QIU Dawei，et al.Space－mapping particle swarm optimization on electromagnetic optimization［J］.Chinese Journal of Radio Science，2015，30（2）：217－223.（in Chinese）.doi：10.13443／j.cjors.2014042801

2014－04－28

联系人：楼群E－mail：lancelou＠qq.com