基于随机矩阵特征值比的频谱感知改进算法

徐家品 杨 智

基于随机矩阵特征值比的频谱感知改进算法

徐家品 杨 智

（四川大学电子信息学院，四川成都610065）

针对认知无线电中现有频谱感知方法的不足，利用大维随机矩阵理论分析了随机矩阵的渐近谱特性，研究了接收信号样本协方差矩阵平均特征值的分布特性，提出两种基于随机矩阵特征值比的频谱感知改进算法.改进算法不需要知道主用户信号的先验信息，也不需要知道背景噪声的功率，得到的判决阈值也具有十分简单的闭式表达式.仿真结果表明，在低样本点、低协作用户数、低信噪比和低虚警概率的条件下，改进算法也可以获得很好的感知性能.

频谱感知；随机矩阵理论；样本协方差矩阵；平均特征值；特征值比

引 言

来自美国联邦通讯委员会（Federal Communication Commission，FCC）的报告显示［1］，由于当前固定的频谱分配方式，使得有限的频谱资源与低的频谱利用率之间存在严重矛盾.1999年8月，Joseph Mitola等人进一步发展了软件无线电的概念，在文献［2］中全面详细地阐述了认知无线电的思想.认知无线电概念的提出，引起了研究者们的极大兴趣，被普遍认为是改进频谱分配方式，实现频谱资源共享，提高频谱利用率的最佳途径.

认知无线电技术中，频谱感知是必需前提和关键技术.在认知无线电系统中，认知用户（次用户）通过实时侦测来搜寻频谱空洞，伺机动态接入，利用授权用户（主用户）暂时没有使用的频谱资源进行通信.同时，为了不干扰主用户的通信，次用户必须在主用户信号出现的时候能够迅速察觉，并将其所占用的频谱交还给主用户使用.这个快速准确地检测主用户信号并在此基础上判断频谱空洞是否存在的过程称之为频谱感知.

目前，现有的谱感知算法主要有：匹配滤波检测［3］、循环平稳特征检测［4］、能量检测［5－6］和多用户协作检测［7－8］.相比匹配滤波检测和循环平稳特征检测来说，能量检测属于非相干检测，不需要知道主用户信号的先验信息，且实现较为简单，因此受到更为广泛的关注与更加深入的研究.但是，能量检测也存在缺陷，它对噪声功率的准确性有较高的要求.当噪声不确定性较大时，能量检测存在信噪比门限效应［9］.当信噪比低于门限值时，能量检测的方法将彻底丧失检测功能.主用户信号在实际信道中传输通常会发生畸变［10］，产生多径衰落、阴影衰落、隐藏终端等问题，单用户感知设备的检测性能难以达到要求.数据融合［11］、双门限判决［12－13］等多用户协作检测的频谱感知方法，能够在一定程度上降低这些现象造成的影响，提高感知性能，但依据的还是能量检测的基本思想，对噪声功率信息的准确性仍然有较大的依赖.在实际的通信环境中，噪声往往具有不确定性，能量检测所需要的特定条件并不能够得到很好的满足.

近年来，随着随机矩阵理论的发展，基于随机矩阵理论的新型频谱感知方法被提出，并迅速成为研究热点.根据大维随机矩阵理论，矩阵元素在满足一定条件时，其经验谱分布函数将表现出某些特殊的收敛性质.利用这些性质，可以巧妙地规避噪声不确定性在频谱感知过程中带来的影响.随机矩阵理论的引入，将频谱感知技术的研究推向了一个新的阶段.Leonardo S.Cardoso等人在文献［14］中提出了适用于大系统的频谱感知算法（下文简称LSC算法）.但是，LSC算法的判决阈值是固定的，无法根据实际情况进行调整.文献［15］中提出了最大最小特征值（Maximum－Minimum Eigenvalue，MME）算法.MME算法利用最大特征值的分布规律，优化了系统在小样本情况下的感知性能.同时得到的判决阈值是虚警概率的函数，使得判决阈值可以根据实际情况进行动态调整.但是，MME算法依据的是Tracy－Wisdom定理，其分布函数不明确，只能通过查表的方式获取某些特定的数值，如表1所示［16］，F－11（0.95）＝0.98，F－11（0.99）＝2.02.文献［17］提出了能量与最小特征值（Energy with Minimum Eigenvalue，EME）算法，该算法所采用的是常见的正态分布，有确定的分布函数，但性能较MME算法有所降低.

表1 Tracy－Wisdom第一分布数值查询表

为了克服以上算法的缺陷与不足，本文通过研究分析接收信号平均能量与样本协方差矩阵平均特征值之间的关系及其分布规律，提出了两种基于随机矩阵特征值比的改进算法，并对改进算法的感知性能进行了理论分析与仿真验证.

1 系统模型

1.1实际的频谱感知场景

在实际通信环境中，认知无线电系统实现频谱感知的关键是在噪声、衰落、阴影等环境下检测主用户信号是否存在.如图1所示［18］，在认知无线网络中，主用户（PU1，PU2，PU3，…）通过主基站（Primary Base Station，PBS）相互通信，次用户（SU1，SU2，SU3，…）采用多用户协作方式对主用户信号进行检测，并将检测数据送至次基站（Secondary Base Station，SBS），进行相应的处理，从而判断主用户信号是否存在.

图1 实际的频谱感知场景

1.2频谱感知的理论分析模型

单个次用户对主用户信号进行检测的情况，可以用统计学中的二元假设模型表示为

式中：y（k）是在k时刻接收到的信号采样值；n（k）是均值为0，方差为σ2的噪声；h（k）是信道衰落因子；x（k）是E［｜x（k）｜2］≠0的待测主用户信号；H0和H1分别表示只有噪声和噪声中混有信号的情况.

在这里，我们研究多用户协作频谱感知的情形，并假设满足以下前提条件：

1）背景干扰噪声服从高斯分布，且与主用户信号相互独立；

2）M个次用户协作检测同一主用户信号的同一频段；

3）次用户通信的频段与要分析的主用户信号频段不冲突；

4）检测速度很快，检测期间信道保持恒定.

将接收信号、噪声及信道增益分别用向量形式表示如下：

于是，多用户协作频谱感知模型可以表示为

每个次用户对接收到的信号采样N次，yi（k）（i＝1，2，3，…，M；k＝1，2，3，…，N）表示第i个次用户在k时刻采样到的信号，则接收信号可以进一步表示成M×N维的矩阵：

2 算法的理论分析及阈值推导

2.1改进算法的理论基础

2.1.1 M－P定律

定理（M－P律）［19］M×N维矩阵W中的元素满足独立同分布（实数或者复数），且均值为零，方差为σ2／N，则当M→∞，N→∞，且M／N→β时，WWT的经验分布几乎一定收敛到一个非随机极限分布，即M－P律，它的概率密度函数为

依据大维随机矩阵理论，当矩阵元素不再满足上述条件（均值为零，方差为时，其最大特征值收敛到，其中

2.1.2 样本协方差矩阵及其性质

对于接收信号，当样本数N较大时，样本协方差矩阵可以定义为

当只有噪声存在时，接收信号的平均能量可以表示为

即

式（10）中：tr（RY（N））表示矩阵RY（N）的迹；λi表示矩阵RY（N）的第i个特征值；¯λ表示矩阵RY（N）的平均特征值.

yi（k）是服从均值为零，方差为σ2的高斯噪声分量，则服从自由度为1的卡方分布，其均值为1，方差为2，记为

由式（13）进一步得

对比式（11），将式（14）进一步表示为

于是得到¯λ的分布规律，记为

2.2改进算法判决阈值的推导

改进算法一：

Q（·）定义为

因此，判决阈值可以表示为

判决规则表示为

改进算法二：

因此，判决阈值可以表示为

判决规则表示为

由式（19）和式（22）可以看出，与MME算法一样，判决阈值γ1和γ2与噪声功率无关.此外，不同于MME算法，改进算法采用的是常见的正态分布，而不是分布函数不明确的Tracy－Wisdom分布.

2.3改进算法判决阈值的有效性

图2和图3分别给出了协作用户数为10，虚警概率为0.05时，在不同采样点数的情况下，改进算法的判决阈值与只有噪声情况下仿真比值之间的关系.在只有噪声的情况下，根据判决规则式（20）和式（23）可以知道，仿真比值应当大于改进算法得到的判决阈值.观察图2与图3，可以发现：一方面，仿真比值得到的曲线基本上位于算法阈值曲线的上方；另一方面，由于虚警概率的存在，也有极少的点位于算法判决阈值曲线的下方.同时随着采样点数的增加，判决阈值也在动态地发生变化，仿真结果验证了改进算法判决阈值式（19）和式（22）的有效性.

图2 改进算法一判决阈值的有效性

图3 改进算法二判决阈值的有效性

3 算法性能仿真

3.1仿真环境及工具

接下来将从采样点数、协作用户数、信噪比及虚警概率四个方面与MME算法和EME算法进行仿真比较.实验采用5 000次的Monte Carlo仿真，仿真平台为Matlab 8.0.0.783（R2012b）.

3.2仿真结果及分析

图4给出了虚警概率为0.01，协作用户数为5，信噪比为－8dB时，检测概率与采样点数之间的关系.由图可知：随着采样点数的增加，四种算法的检测性能都随之提高；在采样点数相同时，改进算法二性能最优，当采样点数为200时，改进算法二的检测概率已达到0.92，而MME算法为0.80，EME算法为0.13；在小样本情况下，改进算法一的检测性能较MME算法略有降低，但随着采样点数的增加，改进算法一的性能将迅速超过MME算法.

图4 检测概率与采样点数之间的关系

图5 给出了虚警概率为0.05，采样点数为400，信噪比为－10dB时，检测概率与协作用户数之间的关系.随着协作用户数的增加，四种算法的检测性能都随之提高.当协作用户数相同时，改进算法二表现最佳，当协作用户数为5时，检测概率已达到0.93，改近算法二为0.89，MME算法为0.86，EME算法为0.19.与图4相似，在协作用户数较小的情况下，改进算法一的检测性能较MME算法略有降低，但随着协作用户数的增加，改进算法一的性能将迅速超过MME算法，并与改进算法二接近.

图5 检测概率与协作用户数之间的关系

图6 为虚警概率为0.01，采样点数为500，协作用户数为10时，检测概率与信噪比之间的关系.由图可知，信噪比的改善对算法检测性能的提升影响很大，随着信噪比的增加，四种算法的检测性能都迅速提高，改进算法二提升速度最快，当信噪比为－13dB时，检测概率已达0.95.随着信噪比的继续增加，改进算法一的检测概率将逼近改进算法二.

图6 检测概率与信噪比之间的关系

由于Tracy－Wisdom分布的分布函数没有明确的闭式表达式，只能通过查表的方式获得一些离散值.所以，图7只给出了EME算法、改进算法一和改进算法二在采样点数为300，协作用户数为5，信噪比为－10dB时，检测概率与虚警概率之间的关系.随着虚警概率的增加，三种算法的检测概率都随之增加.在虚警概率相同时，改进算法二的检测概率最高，当虚警概率为0.01时，已达到0.75.随着虚警概率的增加，改进算法一的检测概率快速增长，而EME算法的检测概率增长较为平缓.

图7 检测概率与虚警概率之间的关系

仿真结果表明，在不同采样点数、协作用户数、信噪比及虚警概率的条件下，两种改进算法的检测性能较MME算法和EME算法均有所提高.同时，通过比较以上的仿真结果，我们还可以进一步得出结论，改进算法二的检测性能要优于改进算法一.

4 结 论

本文提出了两种基于样本协方差矩阵特征值比值的改进算法，与MME算法不同，改进算法不依赖于分布函数不明确的Tracy－Wisdom分布，推导出的判决阈值闭式表达式更加简单.同时仿真结果表明，在相同条件下，提出的两种改进算法的检测性能要优于MME算法和EME算法.改进算法在低样本点、低协作用户数、低信噪比和低虚警概率下可以表现出更好的检测性能.

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Improved spectrum sensing algorithms based on eigenvalue ratio of random matrix

XU Jiapin YANG Zhi
（College of Electronics and Information Engineering Sichuan University，Chengdu Sichuan 610065，China）

Aiming at the shortcomings of the existing spectrum sensing methods in cognitive radio，two improved algorithms based on the eigenvalue ratio of random matrix are proposed through using the property of asymptotic spectrum of random matrix by means of random matrix theory and researching distribution of average eigenvalue of the covariance matrix of the

signals.Improved algorithms not only need neither the prior knowledge of primary signal，nor the power of background noise，but also have quite simple closed form expressions.Simulation results show that the improved algorithms can get a good performance even under the situation of few samples，few collaborative users，low signal to noise ratio and low false alarm probability.

spectrum sensing；random matrix theory；sample covariance matrix；average eigenvalue；eigenvalue ratio

TN92

A

1005－0388（2015）02－0282－07

徐家品（1957－），男，四川人，教授，主要研究方向为通信与信息系统.

杨 智（1987－），男，湖南人，在读硕士研究生，研究方向为通信与信息系统.

徐家品，杨 智.基于随机矩阵特征值比的频谱感知改进算法［J］.电波科学学报，2015，30（2）：282－288.

10.13443／j.cjors.2014042901 XU Jiapin，YANG Zhi.Improved spectrum sensing algorithms based on eigenvalue ratio of random matrix［J］.Chinese Journal of Radio Science，2015，30（2）：282－288.（in Chinese）.doi：10.13443／j.cjors.2014042901

2014－04－29

联系人：杨智E－mail：youngtze＿2014＠163.com