基于灰色区间预测模型的轨道不平顺状态预测

王乃珍，王福田

（北京交通大学 轨道交通控制与安全国家重点实验室，北京 100044）

研究与开发

基于灰色区间预测模型的轨道不平顺状态预测

王乃珍，王福田

（北京交通大学 轨道交通控制与安全国家重点实验室，北京 100044）

轨道不平顺状态是影响行车安全的关键因素。轨道质量指数（TQI）是反映轨道几何状态变化的重要数据，是一个随时间变化的时间序列，具有随机性。为了更好地研究轨道状态的变化趋势，利用灰色区间预测模型，对单元区段范围内随时间变化的TQI进行建模，并与传统的非等间距GM（1，1）预测模型相比较。为了说明预测模型的有效性，采用京九线K467.8～K468单元区段实际数据进行验证，结果表明灰色区间模型的预测精度更高，对铁路轨道养护维修工作起到指导作用。

轨道不平顺；灰色区间模型；轨道质量指数（TQI）；预测

轨道不平顺严重威胁列车运行安全，影响乘客旅行的舒适度、设备的使用寿命和轨道的养护费用。轨道质量指数（TQI）是由美国铁路公司提出的评价轨道状态的指数[1]。根据所测量的不同线路区段，如道岔、桥梁、曲线和隧道等，TQI值的等级不同，并根据不同的等级来反映轨道的状态。计算公式为，式中 Ls表示区段的测量长度，L0表示区段的理论长度。目前工务部门利用轨检车检测数据来管理评价轨道质量状况主要是超限管理，但随着铁路超限管理在诸多方面已经不能保证铁路轨道维修养护工作的顺利进行。因此，如何把握轨道状态实时变化，有效管理轨道质量，保证行车安全同时延长轨道使用寿命已成为各国轨道养护工作的研究重点。

TQI预测主要是根据 TQI历史数据进行建模分析，拟合轨道状态劣化规律，预测未来时间的TQI变化量。国内外许多机构和学者在轨道状态变化建模预测上做了大量的研究:如日本学者杉山德平提出的 S 式，内田雅夫新预测公式，森本藤等的指数平滑模型，加拿大学者提出的 PWMIS 线性预测模型等[2]。国内学者方面，许玉德等提出利用特性矩阵描述轨道变形并进行预测的方法[3]。刘仍奎、常欢等在轨道不平顺周期性、多阶段性、指数性特征的基 础 上 提 出 多 阶 段 轨 道 不 平 顺 线 性 预 测 模 型[4]。 陈宪麦，王澜等利用轨检车检测产生的波形数据，建立了以轨检车检测周期为时间单位对单里程点处的各项不平顺进行预测的综合因子模型[5]。

本文参考了国内外许多 TQI相关研究，将灰平面理论应用于 TQI的预测领域，建立基于非等间距GM（1，1）的灰色区间预测模型。用 R 语言进行计算，R是一套完整的数据处理、计算和制图软件系统。并与传统的非等间距 GM（1，1）模型进行比较，通过分析它们的预测结果来验证其预测效果。

1 基于非等间距GM（1，1）灰色区间预测模型

设原始 TQI 的时间序列为 X(0)(ti)={x(0)(t), x(0)(t2),…,x(0)(tn)}， 由 于 现 场 每 次 对 TQI 检 测 时 间 不 同，TQI时间序列的间隔并不相同，因此采用非等间距GM(1,1)模型。由于一些扰动因素会随着时间的推移进入系统当中，并对系统造成影响。因此，该模型对相隔较远的数据只有大体规划意义，只对已知数据列后的一两个数据有较好的预测作用。考虑到未来不确定性，如新环境、新因素以及随机扰动等对系统的影响，本文在 GM（1，1）预测模型的基础上，采用灰平面理论来预测数据的取值范围，再用权重系数进行修正，更好的反映数据的发展趋势。

1.1 灰平面

采用 GM(1,1)模型进行预测时，由于时间序列x(0)只包括了过去各项因素对系统的影响，而不能包含未来扰动因素对系统的影响。为了估计数据可能达到的范围，灰色系统理论提出了灰平面的概念，灰平面预测是指预测值 X(t) 可能达到的范围[6～7]。

未来预测值 X(t)与时间 t构成的灰平面示意图如 图 1 所 示， 预 测 值 的 上 界 为(max)， 下 界 为(min)。当前时刻为 N，则(max) 与(min) 可分别用曲线 f1=f1(t–N)和曲线 f2=f2(t–N)来表示，f1和 f2两曲线之间的区域即为灰平面。建立灰平面，一般有 3 种方法[7]:（1）在模型中挑出发展幅值最大的GM（1，1）作为上限，发展幅值最小的 GM（1，1）作为下限，按上下限建立灰色区间。（2）按拟合或预测值的上界和下界建立灰色区间，或称为极限区间。（3）根据原始数列的上界点与下界点，建立灰色区间。

1.2 灰色区间预测模型

本文在上述 3 种方法的基础上建立 GM（1，1）模型，挑选每个点拟合结果中的最大值和最小值建立灰色区间，形成灰平面。

图1 灰平面示意图

设 x(0)为原始数据序列，其中 x(0)={x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n)}，x(0)(n) 称为全数据序列。从 x(0)中选取不同序列点，可组成若干个新的序列，这些序列称为x(0)(n) 的子序列。根据预测需求的不同，可以选取不同的子序列建立不同的 GM（1,1）模型。为了提高预测精度，本文通过选取3种不同的序列建立模型:全数据 GM（1,1）；新息 GM（1,1）；等维新息 GM（1,1）。建立灰平面，再引入权重系数对区间预测值进行修正，得到最终的预测结果。

（1）全数据 GM（1,1）

全数据 GM（1,1）即非等间距 GM（1,1）模型。建模过程如下:

假 设 ti表 示 TQI 的 检 查 日 期 ， 定 义 向 量 X(0)(ti)表示 TQI的历史数据 :

该数据序列时距 Δti=titi1，i=2, 3,…,n。Δti不为恒定的常数。对该序列一次累加，弱化了原始序列的随机性，使得序列呈现近似指数的增长规律。序列的时距 Δti作为乘子，生成序列 :

式（1）中，α为发展灰度，μ为内生控制灰数。

再求解微分方程，即可得预测出 ti时刻 TQI的值 :

GM（1,1）模型的精度可以采用后验差和小概率的方式进行检验。后验差检验是按照残差的概率分布进行检验，一般采用后验差比值C和小误差概率P两个指标来确定模型的精度等级。一般用C、P的值将模型的精度分为4级，如表1所示 :

表1 精度检验等级参照表

（2）新息 GM（1,1）模型

该模型指每获得一个新信息，便将它补充到原始数列中，再按照新形成的数列进行建模。

（3）等维新息 GM（1,1）模型

该模型是指每增加一个新信息，同时就去掉一个老新息，再按照新形成的序列建立的模型，又称为新陈代谢模型。

本文建立3种预测模型后，从3个模型中挑出拟合或预测值最大点以及最小点，可确定 TQI时间序列 的 预 测函 数 的 上下界，组 成 灰平面。(ti), i=1, 2,…, n 表示下界点。(ti), i=1, 2,…, n 表示上界点，当 i≤ n 时，得到模型的拟合值，当 i＞n 时，得到模型的预测值。即TQI预测函数的下界函数为 :

TQI预测函数的上界函数为 :

2 模型的仿真与计算

本文选取 了 2009 年 2 月～ 2010 年 7 月 京九线上行 K467.8 ～ K468 单元区段共 20 次时间序列进行模型仿真。全数据时间序列由 1～ 19序列点构成，2 ～ 20 序列点构成新息序列，1 ～ 20 序列点构成等维新息序列，分别建立非等间距 GM（1，1），对第21 个批次 2010 年 7 月 23 日的 TQI值进行预测，并与真实值进行比较来验证模型预测的准确性。

按已知数据分别建立全数据 GM（1，1）、新息GM（1，1）模型和等维新息 GM（1，1）模型，经R语言编程计算，并且算出后验差C和小误差概率P对模型的精度进行检验。

各模型统计结果如表2所示 。

表2 各模型统计结果

在3个模型中，新息模型和等维新息模型的精度为二级，全数据模型精度为一级，说明预测模型基本可信。通过上面 3个模型求出第 21个批次预测值(ti) 和最高预测值(ti)，以预测误差平方和最小为目标，通过数学规划方法求解，得到最优的权重系数 a=0.6989 和 b=0.3011，将它们带入修正函数，得到最后的拟合值以及预测值。第 21个批次的预测值 为 13.93， 实 际 值 13.92， 相 对 误 差 0.07%。 将 灰色区间预测模型得到的拟合值进行汇总，并与非等间距 GM（1，1）模型进行比较， 结果如表 3 所示 。

从图 2 可以看出，相比非等间距 GM(1，1)模型，灰色区间预测模型的大部分点更靠近真实值，拟合值的相对误差较小。对最后一个批次进行预测的相对误差仅为 0.07%，表明该预测模型能更好的模拟 TQI序列的发展变化。

表3 区段两种预测模型的TQI时间序列拟合结果

3 结束语

本文通过建立 3 个 GM（1，1）模型，选取所有TQI时间序列点的拟合值和预测值的上下界函数，形成灰平面。并引入区间权重系数对预测结果进行修正。基于京九线的实测数据的模型进行了验证，结果表明灰色区间模型相比于传统的非等时间距 GM(1，1)模型，能够较好描述 TQI序列的发展变化，可用于 TQI预测，对轨道不平顺预测具有指导作用。

图2 两种预测模型和真实值对比图

[1]徐 鹏 .铁路线路轨道动态不平顺变化特征研究 [D].北京 ：北京交通大学，2009.

[2] Kawaguchi A, Miwa M, Terada K.Actual data analysis of alignment irregularity growth and tis prediction model[J]. QR of RTRI, 2005, 46(7): 55-60.

[3]许玉德，李海峰，周 宇 . 铁路轨道高低不平顺的预测方法 [J].同济大学学报 (自然科学版 )， 2003，31（3）：291-295.

[4]常 欢，刘仍奎，方 圆 .改进的轨道质量指数线性预测模型研究 [J].铁路计算机应用，2010， 19（6）：1-3.

[5] 陈宪麦，王 澜，杨凤春，等 . 用于铁路轨道不平顺预测的综合因子法 [J].中国铁道科学，2006，27（6）：27-31.

[6]郑双忠，陈宝智 .基于灰平面的综合事故率区间预测方法 [J].中国安全科学学报，2001， 11（2）：27-30.

[7]彭冬芝 .灰平面预测法在水电施工事故预测中的应用 [J].人民长江，2004，35（9）：56-58.

责任编辑 陈 蓉

Prediction for track irregularity based on gray interval prediction model

WANG Naizhen, WANG Futian
( State Key Lab of Rail Traf c Control & Safety, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China )

Track irregularity status was a key factor affecting driving safety. Track Quality Index(TQI) could re ect the change of track geometry state. It was a time series changed with time and was with random characteristic. In order to study the change trend of track status better, the gray interval prediction model was developed to model over TQI which was changed with the range of the unit section of track, and compared with conventional non- equidistant GM(1,1) model. Effectiveness of the prediction model was validated by the actual data of Jingjiu Line K467.8～K468 unit section, The results showed that the gray zone model was with higher prediction accuracy.

track irregularity; gray interval model; track quality index(TQI); prediction

U213.2 ∶ TP39

：A

1005-8451（2015）01-0001-04

2014-07-24

王乃珍，在读硕士研究生；王福田，副教授。