带有非局部时滞的竞争扩散系统的稳定性分析

孙亚男，孟 琳，王 静

（东北师范大学数学与统计学院，吉林长春130024）

带有非局部时滞的竞争扩散系统的稳定性分析

孙亚男，孟 琳，王 静

（东北师范大学数学与统计学院，吉林长春130024）

在齐次Neumann边界条件下研究了一类具有非局部时滞的竞争扩散系统.利用线性化方法和上下解方法，研究了该系统的局部稳定性和全局稳定性.

竞争系统；反应扩散；平衡点；非局部时滞

1 背景及主要结论

竞争系统是当今生态学研究的热点问题，由于国内外学者对其研究的深入，极大地推动了该理论的发展.近年来，许多学者对具有扩散项［1－7］或时滞项系统的动力学行为进行了讨论，尤其对非局部时滞的研究，获得了许多成果.对于每一个σ∈［0，∞），核函数Ki（x，y，σ），i＝1，2，关于（x，y）∈¯ΩׯΩ都是非负连续的.对于每一个（x，y）∈¯ΩׯΩ，核函数Ki（x，y，σ），i＝1，2，关于σ∈［0，∞）都是可测的.由于这个核与时间变量和空间变量均有关，系统（1.1）中的时滞被称为时空时滞或非局部时滞.文献［1］研究了具分布时滞的二维Lotka-Volterra竞争扩散系统

其中：u1（x，t）和u2（x，t）分别表示在位置x和时间t处的种群密度；r1，r2分别表示种群的内禀增长率；a1，a2分别表示种群的内部竞争率；b1，b2表示两个种群间的竞争率；齐次Neumann边界条件表示没有物种跨越边界Ω；r1，r2，a1，a2，b1，b2是正常数；当（x，θ）∈Ω×（－∞，0］时，初始函数i（x，θ）是非负连续函数.

文献［2］考虑了一维区域［0，π］，在这个区域内时滞项与种群密度u（x，t）有关，并且考虑了时滞项

是方程

的解.

文献［3］研究了非局部时滞的具有年龄结构的反应扩散方程

的单调行波解.

文献［4］研究了

其中

通过建立常微分方程的上下解，并利用单调迭代方法或不动点方法建立了行波解的存在性.文献［5］研究了具有

的捕食者-食饵系统的稳定性.这个时滞既与捕食者有关，也与食饵有关.

本文在文献［5］的基础上考虑竞争系统

其中

为了下面研究方便，令

则（1.2），（1.3）式等价于如下问题：

其中1（x，θ），2（x，θ）由（1）式定义，且

2 常值解的存在性及局部稳定性

通过计算可得系统（1.4）有平凡的常值解E0＝（0，0，0）和半平凡常值解为了得到系统（1.4）的正常值解，我们需要给出如下的假设：

在假设（H1）或（H2）下，显然系统（1.4）有唯一的正常值解E＊＝（u＊1，u＊2，u＊3），其中

为了证明平衡点稳定性我们引进一些符号.设0＝μ1＜μ2＜…＜μn＜…是带有齐次Neumann边界条件的-Δ算子在（0，π）中的特征值.E（μi）⊂C1（0，π）表示μi对应的特征子空间.令｛ij｜j＝1，2，…，dimE（μi）｝表示E（μ1）的一组正交基，

则

下面把系统（1.4）线性化.令L＝IΔu＋fu（u），

首先给出E0，E1，E2的局部稳定性结果.

定理2.1 对于系统（1.4）有如下特征：

（1）平凡解E0总是不稳定的；

（2）如果b2r1＞a1r2且r2τ＜r1τ＜1，则E1是局部渐进稳定的；

（3）如果b1r2＞a2r1且r1τ＜r2τ＜1，则E2是局部渐进稳定的.

证明 （1）系统（1.4）在E0的线性化系统

的特征方程是

显然，当i＝1时，（2.1）式存在两个正根λ1＝r1＞0，λ2＝r2＞0，于是由于L存在具有正实部的特征根，所以系统（1.4）的平凡解E0不稳定.

（2）系统（1.4）在E1的线性化方程

的特征方程为

其中：显然，当b2r1＞a1r2，r2τ＜r1τ＜1时，B1，B2，B3，B1B2－B3都是大于0的，根据Routh-Hurwitz判别法，特征多项式的特征值具有负实部，所以E1是局部渐进稳定的.

（3）系统（1.4）在E2的线性化方程ut＝Lu＝IΔu＋fu（E2）u的特征方程为

其中：

显然，当b1r2＞a2r1且r1τ＜r2τ＜1时，B1，B2，B3，B1B2－B3都是大于0的，根据Routh-Hurwitz判别法，特征多项式的特征值具有负实部，所以E2是局部渐进稳定的.证毕.

定理2.2 如果假设（H2）成立，并且a1，a2，b1，b2，r1，r2满足统（1.4）的正常值解E＊是局部渐进稳定的.

线性化方程

的特征方程为

其中：

即

通过计算可得，当假设（H2）成立，并且a1，a2，b1，b2，r1，r2满足

此时2a1u＊1－r1＞0，2a2u＊2－r2＞0，显然B1，B2，B3＞0，

根据Routh-Hurwitz判别法，特征多项式的特征值具有负实部，所以E＊是局部渐近稳定的.证毕.

3 正常值解的全局稳定性

为了研究E＊稳定性，我们需要引入系统（1.4）的伴随系统

定义3.1［6］令

我们称~c，＾c是系统（3.1）的一对有序上下解.

对于＾ci≤ui，vi≤~ci，i＝1，2，3，可知存在常数

使得如下关系成立：

即系统（1.4）满足Lipchitz条件，显然系统（1.4）的右端函数连续，所以系统（1.4）存在位于［＾c，~c］的解.构造序列

引理3.1［5］令，＾c表示系统（3.1）的一对有序上下解，c表示（3.4）式中满足（3.5）式的极限.则其对应的系统（1.4）的解u＝（u1，u2，u3）在初始值i（x，θ）满足＾ci≤i（x，0）≤（i＝1，2，3）的情况下满足性质≤u（x，t）≤c，t→∞，x∈（0，π）.进一步的，如果＝c，则（或c）是系统（3.1）在，＾c〉中的唯一解，且

定理3.1 令u＝（u1，u2，u3）表示系统（1.4）在i（x，0）0，i＝1，2，3条件下的解.假设（H2）成立，并且存在δ＞0，使得

证明 u＝（u1，u2，u3）表示系统（1.4）在i（x，0）0，i＝1，2，3条件下的解，则有ui（x，y）＞0，i＝1，2，3，x∈［0，π］，t＞0.

首先，我们构造~c，＾c使得~c≥＾c≥0＝（0，0，0），且（3.2）式成立.

令

其中，ε＞0且充分小，~c＝（~c1，~c2，~c3），＾c＝（＾c1，＾c2，＾c3）.

其次，证明存在t＊，使得当t≥t＊时，＾ci≤ui（x，t）≤~ci，（x，t）∈［0，π］，i＝1，2，3.由系统（1.4）知uit≤uixx＋ui（ri－aiui），利用比较原理，

所以，对ε＞0且充分小，∃ti＞0，使得当t≥ti时因此，有u3t≤u3xx＋利用比较原理，

所以，对ε＞0且充分小，∃t3＞max｛t1，t2｝，使得当t≥t3时，u3（x，t）≤~c1~c2＋ε＝~c3.

由系统（1.4）及~c的值可知u1t≥u1xx＋u1（r1－a1u1）－b1u3，（x，t）∈（t3，∞），又因为~c3≥~c1~c2≥u1~c2，所以只需证明u1t≥u1xx＋u1（r1－a1u1）－b1u1~c2即可.利用比较原理，对ε＞0且充分小，∃t4＞t3，使得当t≥t4时.同理，∃t5＞t3，使得当t≥t5时由系统（1.4）和利用比较原理，对ε＞0且充分小，∃t6＞max｛t4， t5｝，使得当t≥t6时，u3≥＾c1＾c2－ε.

再次，证明系统（1.4）的解u一致收敛于E＊.

不失一般性，假设＾ci≤i（x，t）≤~ci，i＝1，2，3.由引理3.1可知存在使得系统（1.4）的唯一解u满足0＜＾ci≤ci≤ui≤≤，i＝1，2，3，t→∞.因此，（3.5）式变为

于是，

由（3.9）和（3.10）式，有

利用（3.6）式，对ε＞0且充分小，有

对x∈［0，π］一致成立.证毕.

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Stability analysis for a competitive system with nonlocal delayed and reaction-diffusion

SUN Ya-nan，MENG Lin，WANG Jing
（School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

In this paper，we study a competitive system with nonlocal delayed and reaction-diffusion in the condition of homogeneous Neumann boundary conditions.By using the linearization method and the method of upper and lower solutions，we conclude the local and global stability of the constant equilibrium.

competitive system；reaction-diffusion；equilibrium point；nonlocal delayed

O 175.14 ［学科代码］ 110·34

A

（责任编辑：陶 理）

1000-1832（2015）03-0019-07

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.005

2014-01-17

国家自然科学基金资助项目（11271065）.

孙亚男（1989—），女，硕士；王静（1972—），女，博士，副教授，主要从事微分方程和生态数学研究.