非线性二阶三点边值问题正解的存在性

李君君,史 平

(南京财经大学 应用数学学院,江苏 南京 210046)

非线性二阶三点边值问题正解的存在性

李君君,史 平

(南京财经大学 应用数学学院,江苏 南京 210046)

研究了一类非线性二阶三点边值问题正解的存在性,通过研究非线性项在有界区间上的局部特征.利用Krasnosel’skii不动点定理给出了一个正解存在性定理,该定理的得出避免了讨论非线性项的极限问题,应用范围更加广泛.

三点边值问题; Krasnosel’skii不动点定理; 正解; 存在性

0 引言

本文将研究下列三点边值问题

(P)

的正解的存在性.这里,问题(P)的正解是指当t∈[0,1]时,有u(t)>0,且u(t)是问题(P)的解.

由于问题(P)在很多物理现象中有很多应用,例如描述非线性源生成的扩散及共振,因此受到了普遍重视.马如云[1]率先研究了三点边值问题,姚庆六[2]对一些结果作了进一步推广.后来马如云[3]又研究了其多解性.本文研究f(t,u)在[0,1]×[0,∞)的有界区间上的局部特征,从而给出问题(P)的正解存在性定理.

本文始终假设:

(H1)η∈(0,1),0<αη<1,α,β>0,α<1;

(H3)f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)).

1 预备工作

在给出本文的主要结果之前,我们首先回顾一下相关引理和定义.

首先定义算子

引理1[4]假设(1-αη)+β(1-α)≠0,那么边值问题

的Green函数为

引理2[5]设u*∈C+[0,1],则u*是问题(P)的解当且仅当u*是算子A的不动点.

引理3[6]T:K→K全连续.

本文的基础是Krasnosel’skii不动点定理,本文的结论都根据该定理论证的.

满足:

(i) ‖Tu‖≤‖u‖,u∈K∩∂Ω1且‖Tu‖≥‖u‖,u∈K∩∂Ω2或,

(ii)‖Tu‖≥‖u‖,u∈K∩∂Ω1且‖Tu‖≤‖u‖,u∈K∩∂Ω2,

2 主要定理及证明

令

φ(r)=max{f(t,l):(t,l)∈[0,1]×[0,r]},

ψ(r)=min{f(t,l):(t,l)∈[η,1]×[σr,r]},

定理1 如果存在两个正数r1,r2,使得φ(r1)≤Ar1,ψ(r2)≥Br2,则问题(P)至少有一个正解u*∈K满足

min{r1,r2}≤‖u*‖≤max{r1,r2}.

证明假设r1

若u∈∂Ω1,则0≤u≤r1,t∈[0,1]且有f(t,u(t))≤φ(r1)≤Ar1,t∈[0,1],

故

所以

f(t,u(t))≥ψ(r2)≥Br2,t∈[η,1],

故

根据引理2、引理3和引理4,问题(P)至少存在一个解u*∈K满足r1≤u*≤r2且u*>0,0

3 结论

本文利用不动点定理,给出了边值问题(P)的正解存在性定理,避免了讨论非线性项f(t,u)的极限.定理2对于边值问题(P)即使在f(t,u)的极限不存在的情况下,也能证明问题(P)存在正解.

[1]Ma R Y.Positive solution for a nonlinear three-point boundary value problem[J].Electronic Journal of Differentions，1999,34(1):1-8.

[2]姚庆六.非线性二阶三点边值问题正解的一个存在定理[J].系统科学与数学，2003,23(4):495-500.

[3]Ma R Y.Multiplicity results for a three-point boundary value problem at resonance[J].Nonlinear Analysis，2003,53(6):777-789.

[4]Ren J L,Ge W G.Positive Solution for Three-Point Boundary Value Problems with Sign Changing Nonlinearities[J].Applied Mathematics Letters,2004,17(4):451-458.

[5]姚庆六.Sturm-Liouville边值问题的正解存在性[J].数学物理学报，2002,22A(2):145-149.

[6]Yao Q L.The singular second order nonlinear eigenvalue problem with infinitely many positive solutions[J].Ann of Diff Eqs，2001,17(3):268-274.

[7]马如云.非线性常微分方程非局部问题[M].北京:科学出版社,2004,18-22.

[8]姚庆六.奇异二阶三点边值问题的一个正解存在定理[J].山西大学学报：自然科学版，2009,32(1):21-24.

[9]Li F Y ,Zhang Y J.Multiple Symmetric Nonnegative Solutions of Second-Order Ordinary Differential Equations[J].Applied Mathematics Letters，2004,17(3):261-267.

[责任编辑：李春红]

The Existence of Positive Solution of Nonlinear two Order three-point Boundary Problem

LI Jun-jun,SHI-Ping

(School of Applied Mathematics,Nanjing University of Finance and Economics,Nanjing Jiangsu 210046,China)

The existence of positive solution was studied for the nonlinear two order three-point boundary value problem.According to local feature of the nonlinear term in bounded interval,we apply the Krasnosel’skii fixed point theorem in degree theory,an existence theorem of positive solution was proved.This theorem avoided the limit of nonlinear term,so it will have a wide range of application.

three-point boundary problem; Krasnosel’skii fixed point theorem; positive solution; existence

2014-09-12

史平(1963-),男,江苏溧阳人，教授，博士，研究方向为泛函分析.E-mail:pshi63@126.com

O175.14; O177.91

:A

:1671-6876(2015)01-0014-03