论高中阶段如何用初等数学方法求特殊数列的前n项和

杜怡萱

摘要：数列在初等教学当中占据着重要地位，如实际生活中的分期付款、人口增长的统计以及物品的摆放等问题几乎都会涉及到数列，特别是特殊数列的前n项求和问题，在经过初步演算之后，都可以运用基本数列的方法求算。本文列出了特殊数列前n项和的几种解法。

关键词：初等数学   数列求和   特殊数列

高考中数列求和的题目占据了一定的比例，尤其是特殊数列的前n项求和问题经常令学生感到困惑。目前中高考当中的数列求和问题已受到了教师和教研组的充分重视。文章参考了一些关于数列问题的研究成果，针对特殊数列前n项和的求法，试图用初等数学方法进行计算，希望为教师和学生在日后的学习和工作中提供有益的参考。

一、初等数学中的数列概述

在初等数学中，数列求和问题是多种数学问题的契合点，与方程式、函数、不等式等有着密切的联系。数列部分的内容涉及到很多方面，如整体代入、归纳类比、分类计算等方法和思想。在现实生活中，如分期付款、人口增长的统计以及物品的摆放等问题几乎都会涉及到数列。数列在数学运算中属一种特殊的函数，经过初等数学的运算，可以为日后高等数学的学习打下基础。

在初等数学中，数列求和问题是其中的重要运算内容，教师可基于传统的数学教法，对求和的方式进行分类和归纳总结。等比数列中的前n项求和公式蕴含着很多分类方法，本文主要围绕等比数列和等差数列的基本公式，针对特殊数列前n项和的解题思路，导出相应的公式。但是在运算过程中还需要注意很多问题，比如在使用分解法时要进行项数抵消，哪些项应被消除，哪些项应被保留;项数被消除之后，所剩下的项数中，正数项和负数项的数量一定是相同的。所以在计算过程中一定要注意，不可以将项数漏写。

二、用初等数学方法求特殊数列前n项和的几种解题思路

（一）待定系数法

首先是一道例题，求数列的和。

下面是解题思路：

要想求得这个数列的和，用教材当中的等差數列和等比数列公式显然无法得出。公式中，分母的次数明显大于分子的次数，所以可将将其转为部分公式：

设，即。进行对应项系数的比较可知：{，求得：A=1，B=-1。把n=1，2，3……，n代入通项当中，可得出：。

通过分析各项的特点可知，前项分式的后式以及后项分式中的前式是相反数，这样公式的规律就可以看出来了，所以： 。

通过这种解法，求得特殊数列前n项和的思路大致为：首先求得数列通项的分式，然后使n=1，2，3……，将n代入到通项当中，得出各项的分式，最后数列前n项的和就可以得出来了。

（二）拆项法

拆项法是指将数列中的每一项分成两项的差，分开之后的相邻两项就会消去，这样分开计算，结果就只留下了首尾两项，从而简化算式得出最终结果。下面举例说明：求此数列的和，

。

以下为解题思路：

当数列通项能够分成两项差的模式时，就可以使用拆分法，求得前n项的和。如果数列通项有如下特征，也可以通过拆分法进行运算求得前n项的和。

如通项，其中，的等差数列中的公差是d，那么就可以拆分成两项之差。由此可知，利用拆项等式的方法可以将数列当中的每一项都拆分成两项之差的形式，然后正负项彼此消除，就会很容易求得前n项的和。

（三）降次法

在对自然数的n次幂和公式进行推导的过程当中会用到降次法，也即是通过对自然数（n+1）次幂公式的利用对自然数的n次幂进行推导。

下面举例说明：

求证。下面是证明思路：取n=1，2，3，4……，n，将此等式的两边进行相加可以得出：

以上就是降次法的解题思路。这种方法能够将问题转化为等差和等比数列或者已知数列，从而求得数列之和。

综上所述，在高中阶段用初等数学方法求特殊数列的前n项和是每个高中生应该具备的能力，同时也是灵活解题的重要手段之一。在既有的研究成果中，对于特殊数列前n项和的求解方法并没有形成完善的研究体系，解决方法也过于笼统，高中生往往无法有效掌握求解手段，这在很大程度上降低了高中生的学习兴趣及学习效果。为此，本文针对特殊数列前n项和的求法，列出了几种解题思路，将问题转化为了最终的等差数列和等比数列求和问题的运算，促使特殊数列前n项和的运算得到了切实解决。

参考文献：

[1]白晓洁.新课程标准下高中数学数列问题的研究[D].开封：河南师范大学，2013.

[2]沈建梅.高中数列教与学的实践与研究[D].扬州：扬州大学，2013.

[3]岳玉科.《数列求和》教学案例谈新教材的有效研究探索[J].昭通师范高等专科学校学报，2011（S1）.