带有耗散项p方程组的周期解

丁文武

(南京航空航天大学理学院数学系，南京210016)

带有耗散项p方程组的周期解

丁文武

(南京航空航天大学理学院数学系，南京210016)

在文献［1］中，Hermano Frid利用Glimm格式研究了一类齐次的守恒律方程组的周期解.本文主要研究的是带有耗散项的p方程组

的周期解，通过利用改进的glimm格式得到了该方程组的近似解，其近似解满足周期性且在一个周期内全变差有界.

p方程组;周期解;改进的Glimm格式;全变差有界

其中p是一个定义在v＞0时的光滑函数，满足

例如:p(v)=γv－γ，－1＜γ≤1，γ≠0(γ为绝热指数(见文献［3］)).我们不难验证如果p1和p2满足不等式(2)，这时C1p1+C2p2也满足不等式(2)，其中C1和C2为非负常数.

令U=(v，u)并且可计算黎曼不变量(见文献［4］)

考虑初值条件

其中δ，M为正常数.假定

其中L为周期.假定

本文的主要结果如下:

定理1如果方程组(1)满足条件(2)－(8)，则通过Glimm格式构造的近似解满足周期性Uh(x+L)=Uh(x)，且这个近似解在一个周期内全变差有界.

1 近似解的构造

利用改进的Glimm格式随机取点逐层构造方程组(1)的近似解Uh(x，t).取定义在区间(－1，1)内的等分布的随机序列θ=(θ0，θ1，θ2，…)，分割xt平面，固定网宽l=Δx，h=Δt，分别为空间步长与时间步长，使其满足CFL条件:

CFL条件保证了由相距为2l的点发出的两个波不相交.

取t=0时的初值:

当m l＜x＜(m+2)l时，可定义U0m+1=Uh(x，0).

则在0≤t＜h时，可在区间(m－1)l＜x＜(m+1)l上解Riemann问题:

则Uh(x，t)=(vh(x，t)，uh(x，t))T即为方程组(1)在0≤t＜h时的近似解.

当h≤t＜2h时，令Uh(x，h)=Uh((m+1+θ1)，h－0)，m l＜x＜(m+2)l，m为奇数记做，则在t=h上，Uh(x，t)为分片常数.可在区间(m－1)l＜x＜(m+1)l上解Riemann问题:

假定t＜kh时Uh(x，t)已定义，则在区间kh≤t＜(k+1)h上可令Uh(x，kh)=Uh((m+1+θk)，kh－0)，m l＜x＜(m+2)l，m+k为偶数，记其为Ukm+1，可在(m－1)l＜x＜(m+1)l上解Riemann问题:

2 近似解的性质

命题1方程组(1)的近似解Uh(x，t)以L为周期，即Uh(x，t)=Uh(x+L，t).

证明 由近似解的构造可立即得出.

其中U12为中间状态，对于任意的实数y，(y)+=max{y，0}.

引理1(Nishida［5］，Bakvalov［6］)d(U1，U3)≤d(U1，U2)+d(U2，U3)若U2是以U1，U3为左右状态的Riemann问题的解，则上不等式等号成立.

定义2这里的上确界是取遍区间［a，b］上的所有分割的上确界.a为任意的常数.取l=(其中L为周期，l为空间步长).

由近似解的构造可知:在t=kh上的一个周期内Uh(x，t)为分片常数，分别为，…，，.由于周期性=，=.则

从而

Fper)，又=，所以

［6］中描述的p方程组的性质暗示着测度μ主要集中在激波上.这是因为Riemann不变量z，w在穿过激波时都单调减少，穿过相对应的稀疏波特征线时单调增加.

由(13)式可知:d(U1，U2)=(z(U1)－z(U12))++(w(U12)－w(U2))+

这里测量的是激波的强度，其中U12为中间状态，

又因

所以d(U1，U2)=

由于上式右端每项都为正数，所以d(U1，U2)≤d().由此可知:

命题3近似解的全变差TV(Uh(t)|［0，L))有界.

其中DV表示变差下降量，C1，C2为正常数.所以由上述证明可立即得出近似解全变差有界.

3 结语

本文通过改进的glimm格式构造了带有耗散项的p方程组的周期解，并证明了这个周期解的全变差有界.

［参 考 文 献］

［1］FRID H.Periodic solution of conservation laws constructed through Glimm scheme［J］.American Mathematical Socity: 1991 Mathematics Subject Classification，2001，353(11):4529－4544.

［2］SU Ying－chin，HONG JM，CHOU Shih－wei.An extension of Glimm'smethod to the gas dynamicalmodel of transonic flows［J］.Nonlinearity，2013，26:1581－1597.

［3］ 弗里德里克斯R O，柯朗R.超声速流与冲击波［M］.北京:科学出版社，1986.

［4］ 应隆安，滕振寰.双曲型守恒律及其差分方法［M］.北京:科学出版社，1991.

［5］NISHIDA T.Global solution for an initial boundary value problem of a quasilinear hyperbolic system［J］.Proc.Japan Acad，1986，44:642－646.

［6］BAKHVALOV N.The existence in the large of a regular solution of a quasilinear hyperbolic system［J］.USSR Comp. Math.and Math.Phys.，1970，10:205－219.

［责任编辑 王新奇］

On the Periodic Solution to the Equations P w ith Dissipative Term

DINGWen－wu

(Department of Mathematics，School of Science，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China)

According to reference［1］，Hermano Frid has studied the global solution of nonhomogeneous hyperbolic system of conservation laws.This study is to address the periodic solution of equations P with dissipative term

The approximate solution to the equations is obtained by improved Glimm.The periodicity is realized and the total variation within one period is bounded.

equations p;periodic solution;improved Glimm;bounded total variation

1008－5564(2015)01－0014－05

0175.27

A

在文献［1］中，Hermano Frid利用Glimm格式证明了满足初值条件u(x+L，0)=u0(x，0)，v(x+L，0)=v0(x，0)的柯西问题弱解的存在性，本文利用改进的Glimm格式(见文献［2］)构造了带有耗散项的p方程组的周期解.对于方程组:

2014－10－18

丁文武(1988—)，男，安徽合肥人，南京航空航天大学理学院数学系硕士研究生，主要从事偏微分方程研究.