数学分析的发现教学法和问题教学法

梁海华

摘 要 本文简要介绍发现教学法和问题教学法的主要思想，结合数学分析课程知识量大、逻辑性强、精细度高等特点，通过两个教学案例：函数取极值的充分条件、三重积分的定义，来阐述如何将两种教学法应用于数学分析课堂。

关键词 数学分析课程 发现教学法 问题教学法

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2015.07.058

Discovery Teaching Method and Question Teaching

Method on Mathematical Analysis Course

LIANG Haihua

（College of Computer Sciences， Guangdong Polytechnic Normal University， Guangzhou， Guangdong 510665）

Abstract This article briefly introduce the main idea of discovery teaching method and question teaching method. By combining with the properties of Mathematical Analysis course such as the tremendous amount of knowledge， strict logicality and high degree of fineness， we illustrate that how to apply these two teaching methods to Mathematical Analysis course through two examples： the sufficient conditions of extremum value that achieved by a given function and the definition of triple integral.

Key words Mathematical Analysis course; discovery teaching method; question teaching method

对于高等院校数学专业而言，无论在国内还是国外，数学分析都是一门极其重要的专业基础课程。众所周知，微积分有严谨的理论体系和深入渗透到自然科学和工程技术的各个领域的应用价值。数学分析是以实数理论为基础的微积分， 同时还包含了无穷级数的一般理论，是一个系统性强、精细而严密的数学分支。鉴于这种关系，人们把数学分析也称为高级微积分。

数学分析的重要性还体现在它对于分析学的后续课程的影响。常、偏微分方程、复变函数、实变函数、微分几何，这些分析学的课程都在各自的领域体现了巨大的作用。但是，如果没有扎实的数学分析基础，就无法学好这些课程。正因如此，目前国内各个院校的数学专业都把数学分析作为研究生入学考试的必考课程。也正因如此，作为数学分析课程的教师，如何讲好这门课程，让学生深入理解数学分析的本质，就成了一项非常重要又非常棘手的工作。笔者在近几年的教学过程中，根据自己的教学实践，同时结合两种重要的教学法：发现教学法和问题教学法，总结出一些有益的教学方法。因此撰成此文，与同行共享。

发现教学法和问题教学法并非适用于所有学科，但它们都适用于数学教学。这是因为数学这门学科非常重视逻辑关系，迁移性强，需要通过发现和探究问题来导出结论。 但在教学实践中，不能全盘照搬这两种教学法。因为数学分析有自身的特点，例如知识量大（课时量相对较小），逻辑性强，精密度高（而学生自主发现得出的结论往往比较粗糙），所以在应用这两种教学法时，需要结合数学分析课程的特点和授课班级的数学基础，创造性地实施教学。

下面首先简单地回顾发现教学法和问题教学法的基本思想。

1 发现教学法和问题教学法

发现教学法产生于上世纪50年代末。受到苏联科技快速发展的压力，美国迫切需要提高学校的科学教育水平来培养大批科学技术专家和工程师，以此确保其在科技、军事上的优势地位。在这种形式下，布鲁纳提出了发现教学法。

所谓发现教学法，就是在教学过程中，不把现成的理论提供给学习者，而是从青少年好奇、好问、好动的心理特点出发，在教师引导下，依靠教师和教材所提供的材料，让学习者自己去发现问题、回答和解决问题，使他们成为知识的发现者，而不是被动的接受者。发现教学法非常强调如下几个方面：（1）学习过程（即自我“发现”的过程）;（2）直觉思维（防止过早语言化）;（3）内在学习动机（来源于学生对知识本身具有的内在的兴趣，有新发现的自信感）;（4）信息提取（学生亲自参与发现事物的活动，必然会用某种方式对它们加以组织，从而对记忆具有很好的效果）。

发现教学法的操作程序是：首先提出问题，创设情境，引起学生兴趣，形成探究动机。其次是引导学生洞察、展望、分析、比较，提出假说，进行选择思维。最后从事操作，验证假说，得出结论。

关于发现教学法更细致更系统的理论，有兴趣的读者可参阅文献[1]，[2]。

当然，发现教学法有一定的局限性。在实施发现教学法的过程中，学生的有很大的自主空间，所以要求学生掌握比较扎实的基础知识，具备一定的发现经验，善于树立有效的假设并利用已有知识展开验证。对于基础知识储备不足的学生，很难参与发现和研究过程;而对于习惯于被动式学习的学生，容易产生陌生感和畏惧情绪。

问题教学法的提出者是美国教育家与哲学家杜威。他反对传统教育中学生消极被动地接受教师灌输书本知识、教学过程与学生的经验相脱离的教学模式，认为教学过程应该是学生独立自主地发现、分析、解决问题的过程。而问题教学法就是以问题为载体贯穿教学过程，使学生在设问和释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，进而逐渐养成自主学习的习惯，并在实践中不断优化自主学习的方法，提高自主学习能力的一种教学方法。

问题教学法的特点是：（1）需要创设问题情境，以问题来开启学生的思维;（2）讲究“布白”艺术，教师既要有效地启发思维，又要留有余地，激发学生的求知欲望。

问题教学法的实施步骤是：（1）教师创设情境，使学生发现并提出问题;（2）问题定向，引导学生明确要解决的主要问题是什么;（3）学生自主探究，设计解决问题方案;（4）根据方案去解决问题;（5）对所解决的问题进行检验，并总结出方法;（6）对已解决的问题再质疑，使问题得以拓展。

关于问题教学法更详细的介绍以及杜威的其他教育理念，可以参阅文献[3，4]。

在国内各种课程改革和教学改革的实践中，问题教学法已经展示出其独特的优势。特别是新兴的问题教学法更加注重培养学生的自主意识和主动行为，这非常符合我国近年来一直大力提倡的素质教育理念。

2 两种教学法在数学分析课堂中的应用

前面已经介绍了发现教学法和问题教学法的主要思想。它们都注重学生学习的自主性和探究性，有利于培养学生发现和解决问题的能力和形成创新性思维。 但是，实施这两种教学法都需要有充足的教学时间作为保障，而且学生人数宜少不宜多。对于课时量较少（相对于知识量）而且是大班教学的数学分析课堂，我们不能直接套用这两种教学法，而是应该将两种教学法的精髓深入渗透到符合实情的数学分析教学课堂中，根据每节课的知识特点来实施灵活的教学。

数学分析课程的总体特点是知识体系庞大，逻辑性极强，强调对概念的理解和推理的严谨性。笔者在这门课的教学过程中，摒弃或压缩这两种教学法的一些步骤，使得课堂教学更加紧凑而不失启发性。下面将结合两个教学案例来阐述笔者是如何将两种教学法融入到具体的课堂教学中。当然，这两种教学法并不孤立，它们有很多共同之处，所以在应用某一个教学法时，也或多或少渗透了另一种教学法的思想。

首先介绍如何应用发现教学法来讲授一元函数的极值问题。

根据华东师大版《数学分析》[5]的内容安排，在学习了泰勒公式后，马上进入函数的极值与最值问题的学习。极值有三个充分条件。第一充分条件告诉我们，若函数 在点左边单调递减，在的右边单调递增，则 在点取得极小值。这个表述非常直观，学生容易接受和理解。而第二和第三充分条件是用二阶或高阶导数值来判别极值情况，不直观，且涉及到导数阶数的奇偶性，学生不易接受。因此，引导学生去发现这两个充分条件的根源就成了一件非常重要的工作。发现教学法在这一环节的教学中可以发挥其独特的作用。

课程一开始，笔者举了两个例子来阐述极值问题的重要性，顺势提出判别给定的函数何时取得极值是一个非常重要的课题，引起学生对本节课的重视。接着我们一起回顾极值的定义，强调了极值是局部的概念。在这之前，学生已经知道了可导函数 在一点取极值的必要但非充分条件是 （） = 0。所以我提出一个很自然的问题：当 在点可导时（进一步假设它有任意阶导数），在 （） = 0的基础上，需要加上怎样的条件，才能保证是 的极值点？

这是发现教学法的第一个步骤。我让学生思考两分钟（目的是让他们理解这个问题，并初步估计这个问题的难度，对问题产生兴趣）。接下来是最重要的步骤：引导学生洞察、分析、提出假说。考虑到课时有限，要让学生把宝贵时间用在“刀刃”上，我再次强调极值是一个局部的概念，提醒他们可以使用前一节的泰勒公式来作为解决问题的工具，并在黑板上写上公式： （） = （） + （） （） + （） + …（） + ，让他们观察，发现规律。

教材的内容安排是，首先介绍第二充分条件，给出证明，然后介绍第三充分条件，再给出证明。如果按这个顺序进行教学，学生也许可以通过复习来理解和记住这两个结论，但课堂效果无疑会比较差。而我跳过两个充分条件的单独介绍，直接将这个公式写出来的目的是把这两个充分条件统筹考虑，提供有力工具，引导学生去寻找答案。

在观察这个公式时，学生发现了 （）后面的“尾巴”：

（） （） + （） + …（） + 的符号决定了 （）的值比 （）的值大还是小，从而决定了 （）能否成为极值。但部分学生再往下探究时便觉得无从入手（因为涉及到多个变量的叠加）。所以我提醒学生观察，当离很近时，起主要作用的是哪一项？这样，他们就发现，如果 （）≠0，则 （） （）左右了“尾巴”的符号。但当从左到右经过时， （） （）的符号发生改变。因此，在点不能取得极值。

确定这个结论后，一些学生认为判别工作已经结束了。我告诉他们别忘了 （）= 0的情况还没有考虑。于是他们进一步分析（） + …（） + ，获得在点取极值的条件。很自然地，当（） = 0时，还要考虑下一个导数值……此时学生已经发现了导数值跟极值问题的密切关系。

最后，我把课堂上讨论的结果整理成图表的形式：

（）≠0 不是极值点

并告诉他们，把这两个图表的结论表述成文，分别就是课本中的第二和第三充分条件！

当然，还要进行发现教学法的最后一个步骤：验证结论。数学分析非常强调证明的严谨性，所以在发现上述结论，并整理成定理的形式后，我给出了严格的证明。

这节课通过使用发现教学法，引导学生探究了极值的第二和第三充分条件的来龙去脉，不再受困于定理表述的不直观性。此外，我们的教学法把两个充分条件统一考虑，让学生理解到两个定理之间具有很自然的逻辑关系。本节课还加深了学生对泰勒公式应用价值的认识。

我在教学实践中还将发现教学法应用于极限的定义、一致连续与连续的区别、柯西中值定理、不定式极限、分部积分公式、格林公式等环节的教学中。在此不再赘述。

问题教学法与发现教学法有许多共同之处，但更加强调教学过程中以问题为载体。应用问题教学法，可以引导学生从被动接受数学分析的概念（或性质、定理）转化为主动去归纳概念的本质，提取出自己的概念。然后再审查自己形成的概念有何不足：例如，是否考虑不周，遗漏了必要的条件？是否陷入了似是而非的误区？自己形成的概念，是否表达过于繁琐，不能用最精简的语言来刻划概念的本质？

问题教学法的关键是恰当设问，引导释问。 结合传统问题教学法的步骤，我在实践中按如下四个步骤展开：（1）提出问题，启发思考。（2）引导学生研究问题，鼓励短时间的小组讨论交流。（3）师生共同解决疑难，得出结论。（4）对比教材，看看所得结论是否完善，思考不完善的根源。

下面笔者将结合三重积分的概念来体现这一步骤的实施过程。

三重积分有明显的物理背景。《数学分析》教材[5]中用两句话对此作了简单的描述。根据教学经验，教材的描述很难让学生体会到三重积分的物理意义，因此这一环节需要教师创造性地教学。为了从实际问题中自然地引入三重积分概念，加深学生对三重积分的概念及其应用的理解，我在课前作了精心的准备。

首先是准备道具：（1）番薯一个;（2）家庭用便携式秤;（3）小型菜刀一把（使用前用厚报纸裹住）。

三重积分的一个经典的物理背景是求物体的质量。道具中的番薯就是将要被求质量的物体。选购番薯的原则是：体积越大越好（便于课堂展示，体积小了，后排的学生看不清楚），质地越不均匀越好（不要让学生直接认为其密度是个常数），形状越不规则越好（有利于体现分割物体的必要性）。

进入教学环节后，我首先强调了在生活中和在科学研究中经常遇到求一个给定物体的质量的问题。“那么，根据你们现有的知识，怎么求一个物体的质量呢？”

第一个问题提出来后，学生开始讨论。这个时候我并不询问他们的答案。我直接说，你们都有自己的方法，现在咱们来点实际的。这时我从袋子中拿出番薯（学生一片惊叹），问：“你们能否告诉我，怎么求这个番薯的质量？”

第二个问题显然让学生更加感兴趣。部分学生回答说用密度乘以体积。而部分学生则说用秤来秤。我开玩笑地说：“回答用密度乘以体积的同学，肯定是没有买过菜啊。最快的方法莫过于去秤一下。不信？”我拿出第二个道具：便携式秤（学生开始乐了），直接秤出其质量，把读数告诉大家。

接下来告诉学生，这个小问题已经彻底解决了。但是，在现实生活中，或者在物理研究中，求一个物体的质量，使用秤的方法是万能的吗？

这是第三个问题了。这个问题很容易引发思考但颇具挑战性。学生开始讨论。有学生大胆指出一些质量很大或者体积很大的物体，根本无法用秤的方法去秤质量。我也顺势举了一个经典的例子：目前已经知道地球的质量5.98€资乔Э耍馐浅映隼吹穆穑坎皇牵∈歉萃蛴幸郊扑愠隼吹模】杉魑笱ёㄒ档难颐切枰莆崭嗫蒲У墓ぞ撸唇饩黾值奈侍狻=裉欤颐墙褂梦⒒值姆椒ɡ唇饩黾扑惴蔷任锾宓闹柿康奈侍狻？

当然，解决任何一个问题都需要一定的条件。我们这里假设已经知道了物体的密度函数（），（），其中是物体所占的空间区域。为了减少符号的个数，同时又不至于引起误会，我们也顺便用表示该物体。这时，我提出第四个问题：如果物体是均匀的，即为常函数，那么物体的质量等于多少？

第四个问题的答案是 = ， 是体积。这个问题没有难住学生，但为下面的步骤做了铺垫。我进一步提问，如果（）不是常函数，但近似于一个常函数（） = ，那么物体的质量近似等于多少？学生都知道答案依然是 = 。于是我顺势导出第五个问题：现在知道了（）是个连续函数，但不一定近似于某个常函数，你们有什么办法可以求出的近似质量吗？

我让学生开始思考，提醒他们可以采用我们积分学常用的技术。经过讨论之后，大部分同学都有了答案：首先切割物体成若干小块，每一小块近似看作是均匀的，其密度可以用小块的任一点的密度来近似代替。算出每一小块的近似质量，最后加起来。和式就是物体的近似质量。

为了更加形象地说明这一点，我拿出小菜刀（学生看到小菜刀又是一阵惊呼），切割番薯成多个小块。其中一小块比较细长（备用）。切完后，我提出第六个问题：为了让这些小薯块的近似质量之和更加接近番薯的真实质量，我们需要怎么做呢？

学生并没有被这个问题所难住。他们告诉我，应该切得再细一点，越细误差就越小。这时我不失时机地提出一个非常重要，极易被学生所忽略的第七个问题：你们认为怎么样刻画小薯块（即小区域）的细度才准确？

这是一个非常尖锐的问题。不少学生说，用小薯块的体积来作为它的细度。体积越小，小薯块自然越细。还有学生指出，只要切成无数块，小薯块的近似质量之和就变成了真实质量啦，不需要考虑细度。面对这些表面看起来正确实则有误的回答，我逐一纠正。首先，体积越小不意味着其密度越接近于常数。例如，切成细长的一小块，尽管体积非常小，但根据密度函数是连续函数容易看出，该小块上不同位置的密度差别可以是比较大的。因此不适合把小细条形状的薯块视为均匀的。可见，上述方法得出的近似值并不“近似”。其次，切成无数块，并不意味着每一小块都非常小。可以是某一块一直保持着不变，而其他小块被不断地切细。因此，上述两种方法都不符合越来越近似的要求。最后提醒学生，要使每一小块上不同位置的密度非常接近，关键是要考虑（）的连续性。通过引导学生一起回顾连续性的定义，让学生发现：只有用每一小块的直径作为细度，才能满足“当细度趋于零是，近似质量趋于真实质量”的要求。

值得指出的是，通过切割番薯的实物操作，学生对积分学中分割的细度有了深刻的认识！

有了上述几个问题的引导，我和学生一起归纳出求一个已知密度函数的物体的质量的步骤。并将其升华为一般的数学问题。导出三重积分的概念和符号。

课后，通过学生的反馈，我了解到绝大部分学生都充分认识到三重积分具有强烈的物理背景。由于有了正确的理解，他们通过简短的记忆，几乎都能用自己的语言描述出三重积分的定义和表示方法。而且，由于生动活泼的课堂气氛和人人都能参与思考的教学模式，一些平时不爱数学的学生也增加了对微积分的喜爱。

问题教学法还可以应用于确界原理、导数的定义、定积分的定义、用定积分求平面曲线的弧长与曲率、绝对收敛级数的性质、平面图形的面积等环节的教学中。

最后再次指出，要引导学生学好数学分析，仅仅让他们正确理解教材中的概念、性质、定理和各种计算是不够的，还需要更多地引导学生主动去探究这些知识点的本质以及知识点之间的联系。唯有如此，在庞大的数学分析知识体系的学习中，学生才能成为掌舵者。因此，合理灵活地应用发现教学法和问题教学法到数学分析的教学过程，对于改善教学质量具有重要的意义。

参考文献

[1] 布鲁纳.发现的行为[J].哈佛教育评论，1961年冬季号.

[2] 布鲁纳.布鲁纳教育论著选[M].邵瑞珍，张渭城，译.北京：人民教育出版社，1989.

[3] 赵祥麟，王承绪.杜威教育论著选[M].上海：华东师范大学出版社，1981.

[4] 杜威.民主主义与教育[M].王承绪，译.北京：人民教育出版社，2005.

[5] 华东师大数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.7.