探讨指、对数图象交点问题

叶涛

高中教材没有探讨函数[y=ax与y=logax]图象的交点问题，仅仅只是在同一坐标系中画了函数[y=12x与y=log12x]以及[y=2x与y=log2x]的图象. 这张图让很多同学都误以为：函数[y=ax（01）与y=logax（a>1）]的图象无交点. 这种认识是错误的.

比如，函数[y=116x与y=log116x]有三个公共交点，其中有两个公共交点[N112，14，N214，12]关于直线[y=x]对称，还有一个交点落在直线[y=x]上.另外对于函数[y=1.1x]来说，由于其图象上的一点[2，1.21]在直线[y=x]的下方，因而它的图象与直线[y=x]相交且有两个交点，即：函数[y=1.1x与y=log1.1x]的图象有两个落在直线[y=x]上的交点. 由于函数[y=ax与][y=logax（a>0][且a≠1）]互为反函数，其图象关于直线[y=x]对称，可以通过讨论函数[y=ax]的图象与直线[y=x]的交点个数确定函数[y=ax与y=logax]图象交点的个数.

我们可以通过几何画板绘制出函数[y=ax（a>1）]的图象，不难发现当底数[a]较大时与直线[y=x]无交点；当底数[a]较小，非常接近1[a>1]时有两个交点；当[01）]的图象与直线[y=x]的交点情形.

如下图在指数函数[y=ax（a>1）]的图象上，先求斜率为1的切线与[y=ax（a>1）]相切的切点[P]的坐标，根据切点[P]与直线[y=x]的相对位置确定函数[y=ax]的图象与直线[y=x]的交点情形，亦即：令[y=axlna=1]得，[x=-loga（lna）.]

切点坐标[P-loga（lna），1lna]，若点[P]在直线[y=x]上即[-loga（lna）=1lna得，a=e1e].

（1）当[a=e1e]时，函数[y=ax]的图象与直线[y=x]相切于点[P（e，e）.]

（2）当[a>e1e]时，[lna>1e， ∴0<1lna

则有[loga1lna

此时切点[P-loga（lna），1lna]在直线[y=x]的上方，也即[y=ax（a>e1e）]的图象恒在直线[y=x]的上方，函数[y=ax]的图象与直线[y=x]无交点.

（3）当[1e]，

则有[loga1lna>logae]，[∴-logalna>1lna].

此时切点[P-loga（lna），1lna]在直线[y=x]的下方，也即[y=ax（1

由上述分析不难得到以下定理.

定理1 对于指数函数[y=ax（a>1）]的图象，当[a=e1e]时，其与直线[y=x]相切于点[P（e，e）]；当[a>e1e]时，它恒在直线[y=x]的上方；当[1

由于函数[y=ax与y=logax（a>0且a≠1）]互为反函数，其图象关于直线[y=x]对称，因此有以下结论.

定理2 对于对数函数[y=logax（a>1）]的图象，当[a=e1e]时，其与直线[y=x]相切于点[P（e，e）]；当[a>e1e]时，它恒在直线[y=x]的下方；当[1

定理3 对于函数[y=ax（a>1）与y=logax（a>1）]的图象，当[a=e1e]时，有且只有一个公共点；当[a>e1e]时，它们没有公共点；当[1

当[0

[练习]

1. 在[P（1，1），Q（1，2），M（2，3）和N（12，14）]四点中，函数[y=ax]的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点（ ）

A. [P] B. [Q] C. [M] D. [N]

2. 下列结论中错误的是（ ）

A. 若点（2，3）在函数[y=ax]的图象上，则点（3，2）必在函数[y=logax]的图象上

B. 函数[y=ax]的图象必过点（0，1），就是说函数[y=logax]的图象必过点（1，0）

C. 若点[m，n]既在函数[y=ax]的图象上，又在函数[y=logax]的图象上，则[m=n]

D. 函数[y=logax]的图象与直线[y=x]不一定有交点

3. 对于问题“函数[f（x）=ax（a>1）]与其反函数[f-1（x）=logax]的图象有多少个公共点？”有如下观点：（1）当[a>1]时两函数图象没有公共点，只有当[01）]的图象与直线[y=x]的公共点的个数，为此可构造函数[F（x）=ax-x（a>1），]然后利用[F（x）]的最小值进行讨论.

请参考上述观点，并判断以下结论正确的是 （填写序号）.

①当[a>e1e]时，函数[f（x）=ax（a>1）]的图象与直线[y=x]没有公共点

②当[a>e1e]时，函数[f（x）=ax（a>1）]的图象与直线[y=x]有两个相异公共点

③当[a=e1e]时，函数[f（x）=ax（a>1）]的图象与直线[y=x]没有公共点

④当[a=e1e]时，函数[f（x）=ax（a>1）]的图象与直线[y=x]有惟一的公共点

⑤当[11）]的图象与直线[y=x]没有公共点

⑥当[11）]的图象与直线[y=x]有两个相异的公共点