一类新节点集上的Newman有理插值逼近

詹倩++许树声

摘 要：为了得到在[-1，1]上对非光滑函数|x|逼近误差的上界，构造了一组全新的节点集，并证明了基于该节点集的Newman型有理插值算子逼近函数|x|的误差上界为e-21+εn 其中ε为仅依赖n的小正数，可随着n增大任意减小乃至趋于零。该误差上界优于利用Newman节点集所得到的结果。同时通过合理分配节点集在区间上的分布及改进不等式的证明方法，逼近的误差阶可进一步提高。

关键词：函数逼近；非光滑函数；Newman有理插值算子

中图分类号：O17441 文献标志码：A 文章编号：1672-1098（2015）02-0083-04

The Newman Rational Interpolating Approximation Based on a New Set of Nodes

ZHAN Qian1， XU Shu-sheng2

（1. School of Science， Anhui University of Science and Technology， Huainan Anhui 232001， China； 2. School of Science， East China University of Science and Technology， Shanghai 200237， China）

Abstract：In order to get the upper bound of the error of approximating the non-smooth function |x| in [-1，1]， a new set of interpolating nodes was constructed. And the order of approximation is e-21+εn ， where ε only depends on n and ε→0+（n→∞） .This upper bound of error is sharper than the results obtained with Newman nodes. Furthermore， it can be sharpened by improving the method of the inequality proving and the distribution of nodes.

Key words：function approximation； non-smooth function； Newman rational interpolating operators

众所周知，早在1913年，文献[1]就证明了在[-1，1]上对|x|的最佳多项式逼近的阶为O（1n），且不能改进。1964年，文献[2]证明了|x|在[-1，1]上的最佳有理逼近效果更好，远优于其多项式最佳逼近。他构造的节点集是

X={-a，-a2，…，-an-1，0，an-1，…，a2，a}，

其中a=exp（-n-1/2），n=1，2，…，取 p（X；x）=∏n-1k=1（x+ak），并构造有理插值函数rn（X；x）如下：

rn（X；x）=xp（X；x）-p（X；-x）p（X；x）+p（X；-x）

（1）

利用以上有理插值函数得到著名的定理。

定 理 对x∈[-1，1]，n≥5，有下式成立。

12e-9n≤max|x|≤1||x|-rn（X；x）|≤3e-n

（2）

显然文献[2]在证明中构造的函数rn（X；x）是在节点集X上对|x|的插值函数，后来节点集X以及插值函数rn（X；x）分别被称为Newman节点集和Newman插值函数。

在随后的几十年里，国内外众多学者考虑了Newman插值函数基于各种常见节点集对非光滑函数|x|的有理插值逼近，遗憾的是逼近的效果都不如Newman节点集。比如文献[3]～文献[5]分别考虑了等距节点、Chebyshev多项式零点以及修正的Chebyshev多项式零点上对|x|的Newman有理插值逼近，虽然逼近的误差阶较之多项式逼近有了较大提高，但都远远劣于Newman的结果。

2004年，文献[6]仍然利用Newman节点集改进了式（2），并得到了逼近的渐近公式：endprint