带电导体系的电场能量

冀 敏 蒋 平

（复旦大学物理系，上海 200433）

高等院校基础物理课程中静电学是极重要的一部分，而其中涉及能量的章节更是不可或缺的内容.在一些教材中经常出现电场能、电势能、电荷之间的相互作用能以及静电能等等的术语不一而足.但是这些术语涉及的物理意义以及相关的基本概念有的并不很清晰，或者理解不够深刻.本文旨在将同静电相关的能量统一于场的观点或电荷的观点之中，以便对其有更为透彻的认识.

先从最简单的真空中两个体积足够小的荷电导体的电场出发，设荷电量分别为q1和q2.空间位矢为r的任意一场点P的电场强度E（r）为q1与q2的场强E1（r）和E2（r）的叠加，即

其中，

r1和r2为q1和q2的位矢，e1、e2为从q1、q2指向P点的单位矢量.下面为简单计将略去式（1）中的矢量r，即取

空间电场能量密度为

其中，φ1为电荷q2的电场E2在q1处的电势，因而q1φ1即为q1在q2的电场中的电势能；而φ2为电荷q1的电场E1在q2处的电势，q2φ2即为q2在q1的电场中的电势能.一个电荷在另一电荷电场中的电势能正是彼此间的相互作用能.就是说ρ12的全空间积分正是q1与q2的相互作用能W12.亦可写成

式（4）可推广至n个分别带电荷q1，q2，…，qn的导体组成的体系的电场能量密度

其中，φi为除qi自身之外其他所有电荷的电场在qi处的电势.

由此可见场能密度交叉项的空间积分就是电荷间的相互作用势能，各个电荷电场强度的交叉项代表相互作用的能量密度.对比式（7）的第二项和式（8）已可看到静电相互作用势能——电势能既可从场的观点也可从电荷的观点理解；而这二者之间的联系正在于电荷之间的相互作用通过电场传递，电荷间的相互作用就是电场的相互作用.

应该说明的是，虽然式（4）或式（7）在基础物理教学实践中不常使用，却包含着丰富的物理内涵.事实上式（4）原则上适用于任意两个荷电导体构成的体系.以带正电的无限大金属薄板与一个带电量不大的正电荷q的金属小球为例.设板面与纸面垂直，取x轴在纸面上沿板的法线向右，原点在极板上.x＞0处板的电场沿x轴正向，x＜0处沿x轴负向.设小球的位置用x0代表，其电场以小球为中心径向辐射.令板的电场为E1，小球电场为E2.注意在板上与球上电荷分布不变的情形下式（4）的第一项和第二项的全空间积分不因小球的位置而变化，只有交叉项及其全空间积分即势能受小球位置的影响.因此电场能的变化就只是相互作用能即势能的变化.电场能量变化表示电场做功，因而必有电场力存在.本例即属此情形.设板的位置固定，由于体系具有平行于板面的平移对称性，当小球沿平行于板平面移动时电场能量不变，说明电场力并无平行于板面的分量.体系能量只同x0有关.设x0＞0，则在小球右边E1·E2＞0，在平板左边同样有E1·E2＞0，而在板与球之间E1·E2＜0.如球的位置向右移动，则球右边ε0E1·E2的空间积分不变，而板-球之间ε0E1·E2空间积分的绝对值增加，板左边ε0E1·E2的空间积分减少；以致板-球相互作用的能量即势能下降.而且，相对于其他方向小球沿x轴方向移动时势能变化率最大；换言之小球在板的电场中的势能梯度沿x轴负向.小球势能的负梯度就是板对球的静电作用力，显然此时板对球的电场力应沿板的法向指向右方，与熟知的常识相符.

值得注意的是式（7）和式（8）同样适用于单个的带电导体，只要将其中的qi视为分布在导体表面的任一电荷元Δqi.于是带电总量为Q的导体的电场能Wt可写成

其中，ΔEi为电荷元Δqi的场强，φi为除Δqi之外所有其他电荷元Δqj在Δqi处的电势，而＝Q.其实，φi再加上Δqi自身对电势的贡献Δφi就是导体的电势φ

因为导体的电势就是分布在其表面上的所有电荷的贡献之和.

不难看出，式（10）中Δφi的绝对值远比φi的绝对值小.事实上φi为将单位正电荷从导体表面移至无穷远处时Δqi之外所有电荷元Δqj共同产生的电场所做的功.若将这一电场记为E′，则

E为导体在场点r处的电场强度，而式（11）第二项则为Δqi在该场点处的场强ΔEi，ΔEi＝式中，ri为Δqi的位矢，而为从Δqi指向该场点的单位矢量.这一项对应的电场力所做的功与Δqi成正比，为一小量，在极限情形为零.因此，在极限情形

A为导体所在的位置.从而在极限情形φi无限趋近φ，即φi→φ.注意在静电平衡时导体应为等势体，于是式（9）第二项可化为

其中，φ即为导体的电势，是其上所有电荷的总贡献.进一步可以看出，由于ΔEi与Δqi成正比，式（9）第一项和Δqi的平方成比例，相对于第二项为高级小量.因此在极限情形可略去第一项而将单个荷总电量Q导体的电场能写为

从上面的分析可以看出单个导体的电场能就是其上各个电荷元间相互作用势能的总和.因此，有的作者称这一能量为固有能或“自能”.

既然式（14）代表单个导体的电场能，当同时存在多个导体，各自带电量为Qi的情形就是第i个带电导体的电场能，对所有导体累加的总和即为式（7）第一项的全空间积分.于是带电导体系的总电场能WT便可写成

式中

则为所有电荷，包括Qi自身在第i个导体处对电势贡献的总和.

以上用不太严格的办法得出式（15），其实这一公式可以严格推导得出［1］.式（15）提供一种从电荷观点计算荷电导体系总电场能量的方法，只需记得式中Φi为所有电荷，包括Qi自身对第i个导体电势的贡献；而其物理意义可以理解为电场能量可视为体系中所有电荷元相互作用势能的总和.

在式（15）中，虽然形式上只出现各个导体上的总电荷Qi，并不意味着电荷在导体上的分布对电场能全无影响.例如，设想两个相距不远的金属球A与B，A球带正电荷Q，而B球不带电.当只有A球时，根据式（14）电场能为为A球自身的电势.当有B球时，在A球电场影响下B球上要出现感应电荷.在靠近A球的近端出现感应负电荷，而在远端出现等量的正电荷.此时，由于B球的总电荷仍为零，按照式（15）空间总电场能为为A、B两球上的电荷对A球电势贡献的总和，由于B球近端为负电荷，易见φ′＜φ，即感应电荷虽不改变B球上的总电荷量，却使A球电势因而总电场能下降.其原因是感应电荷的出现是由于B球中的电子在A球电场力作用下由远端向近端输运.这一过程电场力做正功导致电场能下降.

必须看到，虽然形式上式（8）和式（15）类似，其实含义迥异.式（8）中的φi为除qi以外所有其他电荷对其所处位置电势的贡献，该式只代表电荷之间的总相互作用能，只是电场能的一部分，不包括单个电荷对电场能的贡献，即不包括固有能.至于式（15）则是带电导体系的总电场能，既包括固有能，也包括相互作用能；其中Φi是所有电荷对第i个导体电势贡献的总和.将式（7）与式（15）相比，在计算电场能量方面前者更具基础性意义，而后者在实用上往往更为方便.下面通过几个大家耳熟能详的例子来具体认识各个公式的具体作用.

例1半径为R带电量为Q的孤立导体球的电场能W.由场能密度的定义可知

导体球的电势

根据式（14）

上式结果和式（17）完全一样.显然φ为总电量Q的所有电荷元对导体球电势贡献的总和.当然这里将无限远处取为电势的零点.

例2球形电容器.设电容器的两极板分别为半径是R1和R2的同心球壳，R2＞R1，极板上的电荷为＋Q（内球壳）和-Q（外球壳）.众所周知，电场只存在于两球壳之间，场强

电场能

易知内球壳电势

而外球壳处的电势

于是由式（15）

恰与式（18）一致.

我们还可分别考察Q和（-Q）的电场能以及它们之间的相互作用能W＋、W-以及W±.

同理

W±可写成

应该说明的是，除式（4）和式（7）外本文的讨论都是在导体分布在有限空间，电场并不延伸至无穷远处的前提之下的.因此，原则上不适用于理想无限大平板电容器的情形；但仍可根据本文的观点对实际情形作一些有益的讨论.

例3理想无限大电容器.将其看作两个带电导体，仍可应用式（4）.设用E＋和E-分别表示正极板和负极板的电场，则在电容器外部E＋＝因而ρe＝0，符合电场仅集中于电容器内部的实际.在电容器内部其中，σ为极板电荷面密度的绝对值.实际电容器极板面积S总是有限的为极板带的电量.如忽略边缘效应，电场总能量W＝ρeSl，l为极板间距.注意极板间电场强度为电容器两板间的电压，可得这正是熟知的结果.而根据式（15）当然二者相同.但应注意Φ＋和Φ-都是正负极板上所有电荷对两极板电势贡献的总和.值得注意的是，由于极板上的电荷量在理想情形下为无限大，单个极板的固有能和彼此间的相互作用能均发散.由以上数例可以使我们体会到应用式（15）可计算单个荷电导体或荷电导体系的电场能，使用式（8）则可计算两个荷电导体或多个荷电导体之间的相互作用能.但在对与这些能量相关的基本概念的理解方面式（7）却更为有益也更为深刻.

［1］蔡聖善，朱耘.经典电动力学［M］.上海：复旦大学出版社，1985：90-94.

［2］张三慧.大学物理学（第三册）电磁学［M］.2版.北京：清华大学出版社，1990：80.