从一道作业题引发的思考

林萍

摘 要： 在作业习题教学中，要根据学生的实际情况确定教学目标，对例题、练习、习题进行重组.因此，正确和合理选取、配置例题、练习和习题，以及选择适当的方法组织习题教学是优化的关键.因为只要对某一道作业习题的条件作一些变动不大的处理或者改变向学生提出这道题的时间、发问角度，就有可能从本质上改变该题的教学意义.

关键词： 作业习题 同类 拓展

伴随着作业教学法的全面推进，为了使作业习题教学的效果达到最优化，要切实把握好以下几个程序：第一，审题.即对题目的条件和结论有全面的认识，要掌握题目的数形特征.有些问题往往需要对条件或所求结论进行转换，使之转化为较简单易解或具有典型解法的问题.如果题中给出的条件不明显，即具有隐含条件，就要引导学生发现.通过认真审题，可以为探索解法指明方向.第二，探索.已知条件和问题之间有内在的逻辑联系和必然的因果关系.在审题之后，引导学生分析解题思路，寻找解题途径，逐渐发现和形成一些解题规律.尤其要仔细分析题目的目标是什么，因为题目的目标就是寻求解答的主要方向，要掌握解题的思维方向，想方设法将所给的题目与会解的某一类题目联系起来，选择解题策略：试试能否换一种方式叙述题目的条件或简化题目的条件或者将该题有关的概念用它的等价定义来代替；将条件分解成几个部分，再将这几部分构成一个新的组合，将所有的局部结果同题目的条件和结论作比较，检查解题意图是否合理；能否把问题分解成一串辅助问题，以便依次解答这些辅助问题就可以综合所给题目的解答；研究题的特殊化情况或者某些部分的极端情况，是否会对题目有影响.即试图由一般退化为特殊或从特殊推广到一般.第三，表述.如何表述解题过程？一定要合乎逻辑顺序，层次分明，严谨规范，简洁明了.教师对教学进程的每个阶段的解题要求应通过板书示范.先让学生模仿，然后养成习惯，逐步做到数学语言、符号准确，说理清楚明白，书写整洁有序.第四，回顾.在解题以后，回过头来对解题活动进行反思、探讨、分析与研究是非常重要的环节.因为对解题过程的回顾和审视会对题目有更全面、更深刻的理解，既可以检验解题结果是否正确、全面，推理过程是否无误、简捷，又可以揭示数学题目之间规律性的联系，发挥例题、习题的“迁移”功能，达到“解一题会一片”的效果.有时还会得到更完美的解答方案.要做好解题教学的上述四个环节，特别要注意：（1）突出思维过程，在例题的配置上，以探索性问题为主；在解题环节上，突出解题思路的探索过程；在思维层次上，随着学生年龄的递增，注意问题的概略解决，给猜想、类比、归纳的推理以应有的地位.（2）学生是学习的主体，在解题教学中要充分发挥学生参与活动的主动性.在课堂上，要给学生充分的思维活动空间，尽可能多地靠学生自己发现解题思路和动手作答.（3）要让学生进行独立、限时的练习训练，以期学生能精力集中，提高练习的速度和有效性.下面笔者结合自己的教学体会谈谈作业中的习题如何解答.

在复习二次函数时，作业1：若函数y=x■-2x-3的定义域为[0，m]，值域为[-4，-3]，则m的取值范围（ ）

A[0，1] B[0，2] C[1，2] D[1，+∞]

作业2：二次函数y=x■-4x+4的定义域为[a，b]，（a

A[0，4] B[1，4] C[1，3] D[3，4]

分析：作业1学生通过画图选项可解决，作业2学生通过画图无法解决.实际要通过画图讨论：二次函数最值问题——对称轴固定，区间变化，根据对称轴在区间的左、中、右结合单调性讨论求值域.学生不清楚分类讨论的原因.

1.同类拓展：已知二次函数f（x）=ax■+bx（a，b是常数且a≠0）满足条件：f（2）=0是方程f（x）=x有等根，①求f（x）的解析式；②问是否存在实数m，n（m

同类练习：已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x■，问：是否存在实数a，b（a≠b），使f（x）在[a，b]上的值域为[■，■]？若存在，求a，b；若不存在，请说明理由.

2.变题拓展：对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D上为单调函数；②存在区间[a，b]？哿D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则有为[a，b]上的闭函数.（1）求闭函数y=-x■符合条件②的区间[a，b]；（2）若f（x）=x■-3x■-9x+4，判断f（x）是否是闭函数；⑶若y=x■+k是闭函数，求实数k的取值范围.让学生独立完成.（1）求导后得[-1，1]；（2）不是；（3）是增函数，把a，b看成方程两个不等正根，0

3.加深探究：已知函数f（x）=x■-6x■+9x，是否存在实数m，n（m

4.同类变式

⒈已知函数f（x）=x+■+m（p≠0）是奇函数.（1）求m的值；（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最小值和最大值.

⒉已知函数f（x）=ln■+■.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求证：f（x）的图像是中心对称图形；（3）设f（x）的定义域为D，是否存在[a，b]？哿D，当x[a，b]时，f（x）的取值范围是[■，■]？若存在，求实数a，b的值；若不存在，说明理由.（不存在）

5.链接高考

1.已知函数f（x）=a-■（a>0，x>0），（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠0），求a的取值范围，并求相应m，n的值；（3）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围.

2.已知函数f（x）=|1-■|，x>0.（1）当01；（2）是否存在实数a，b（a

教后感：第一，审题.要求解的问题是什么？它是哪种类型的问题？已知条件是什么？要求的结论是什么？所给图形和式子有什么特点？能否用一个图形或数学式子将问题表示出来？能否在图上加上适当的记号？有什么隐含条件？第二，联想.这个题以前做过吗？这个题以前在哪里见过吗？以前做过或见过类似的问题吗？当时是怎么想的？题中的一部分以前见过吗，在什么问题中见过的？题中所给出的式子、图形，与记忆中的什么式子、图形相像？它们之间可能有什么联系？解这类问题通常有哪几种方法？可能哪种方法较方便？试一试如何？由已知条件能推得哪些可知事项和条件？要求未知结论，需要知道哪些条件？与这个问题有关的结论有哪些？第三，转化.能否将题中复杂的式子化简？能否对条件进行划分，将大问题化为几个小问题？能否将问题化归为基本命题？能否进行变量替换、恒等变换或几何变换，将问题的形式变得较明显一些？能否形数互化？利用几何方法解代数问题？利用代数方法解几何问题？利用等价命题律或其他方法，可否将问题转化为一个较熟悉的等价命题？最终目的：将未知转化为已知.在转化阶段，有时学生尚不会独自分析，需要教师的辅导.切勿匆忙把教师想好的解题思路和盘托出或把拟好的解法过程在黑板上书写一番，更不能让学生死记硬背解法步骤，以记忆代替思考.而应分析关键环节，激活学生思维的停滞状态.一定要让学生明白怎样解题，为什么这样解？为什么想到这样解？促进学生的思维活动进一步发展.就是审题要有目的性、确定性、隐含性；链接相关知识、联系相识问题、联想类同方法；语言、图形、符号转化，概念命题转化、数形转化.习题主要有以下几种变换方式：原题不变，用不同的方法解同一题目，即一题多解；原题中的已知条件不变，提不同的问题；原题中的已知条件变化，问同一问题（包括多题一解）；已知条件变化，同时改变不同的问题.已知条件变化主要包含：略取或增加一个或若干个已知条件；隐去已知条件；从不同角度改变已知条件.同样结论的变化也有上述三种变化.当然习题的变化从否命题、逆命题、偏逆命题等方面来看也有许多变化.还有用常数与参数之间变换，特殊与一般的变换，归纳与类比的推广，等等.

教师要更新教育观念，坚持以学生为主体，以教师为主导的教学原则.教育家苏霍姆林斯基曾经告诫我们：“希望你们要警惕，在课堂上不要总是教师在讲，这种做法不好……让学生通过自己的努力理解的东西，才能成为自己的东西，才是他真正掌握的东西。”按我们的说法就是师傅的任务在于度，徒弟的任务在于悟.作业习题课不能由教师包讲，更不能成为教师展示自己解题“高难动作”的“绝活表演”，而要让学生成为学习的主人，从平时的作业习题课中积累解题的一般方法和一般技巧，让他们在主动积极的探索活动中实现创新、突破，展示自己的才华智慧，提高数学素养和悟性，最终实现学以致用.

参考文献：

[1]胡庆彪.需要分类讨论的九种常见情况.中学数学（湖北），1991，8.

[2]胡庆彪.浅谈课本习题的挖掘与发挥.中学数学（江苏），1988，4.

[3][美]波利亚.怎样解题.科学出版社，1982.

[4]罗增儒.数学解题引论.陕西师范大学，1997.

[5]戴再平.数学习题理论.上海教育出版社，1996.