巧解“统计与概率”的中考问题

邹浩芳

统计与概率的问题越来越受到人们的关注，在近年的中考卷中，各地越来越注重考查发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，同样在统计与概率的问题中也越来越突出地体现这一特点，因此运用巧妙的思路和方法在较短的时间内快速地解决有关的问题也显得越来越重要. 统计与概率问题按照知识点可分为：（一） 数据的收集与处理问题，（二） 概率问题，（三） 统计与概率综合的问题.

一、 数据的收集与处理问题

数据的收集与处理方法主要有统计图和统计表两种，其中统计图又分为条形统计图、折线统计图和扇形统计图. 条形统计图能清楚地表示每个项目的具体数目，折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，扇形统计图能清楚地反映出各部分在总体中所占的百分比.

例1 （2014·湖南永州）为了了解学生在一年中的课外阅读量，九（1）班对九年级800名学生采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查的结果分为四种情况：A. 10本以下；B. 10～15本；C. 16～20本；D. 20本以上. 根据调查结果统计整理并制作了如图所示的两幅统计图表：

（1） 在这次调查中一共抽查了_____名学生；

（2） 表中x，y的值分别为：x=_____，y=_____；

（3） 在扇形统计图中，C部分所对应的扇形的圆心角是_____度；

（4） 根据抽样调查结果，请估计九年级学生一年阅读课外书20本以上的学生人数.

【考点】本题主要考查了频数分布表、用样本估计总体、扇形统计图等知识点，考查认识统计图、统计表的能力，考查分析和处理这些数据的能力.

【分析】（1） 利用A部分的人数÷A部分人数所占百分比即可算出本次问卷调查共抽取的学生数；（2） x=抽查的学生总数×B部分的学生所占百分比，y=抽查的学生总数-A部分的人数-B部分的人数-D部分的人数；（3） C部分所对应的扇形的圆心角的度数=360°×所占百分比；（4） 利用样本估计总体的方法，用800人×调查的学生中一年阅读课外书20本以上的学生人数所占百分比.

答：九年级学生一年阅读课外书20本以上的人数为160人.

【点评】此题的关键是正确地从扇形统计图和统计表中得到有用的信息.

二、 概率问题

概率问题是新课程改革后中考必考内容之一，生活中的实际问题成了命题者的重要来源，这样能够考查同学们综合运用知识解决问题的能力，我们要把握问题的本质，掌握解决问题的金钥匙.

例2 （2014·湖南怀化）甲、乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中.

（1） 求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；

（2） 从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜，若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜，试分析这个游戏是否公平？请说明理由.

【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与画树状图法.

【分析】（1） 由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案.

（2） 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜、乙胜的情况，即可求得概率. 比较大小，即可知这个游戏是否公平.

（2） 这个游戏不公平.

画树状图得：

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断. 判断游戏公平性就要计算每个事件的概率. 概率相等就公平，否则就不公平.

三、 统计与概率综合的问题

统计与概率综合的问题，突出考查了综合运用知识分析、解决问题的能力，充分体现了数学的整体性、数学学科与其他学科的紧密联系，符合新课程标准的理念.

例3 （2014·山东菏泽）李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差. 并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1） 李老师一共调查了多少名同学？

（2） C类女生有 3 名，D类男生有 1 名，将上面条形统计图补充完整；

（3） 为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.

【考点】条形统计图；扇形统计图；列表法与画树状图法求概率.

【分析】（1） 根据B类有6+4=10人，所占的比例是50%，据此即可求得总人数；

（2） 利用（1）中求得的总人数乘对应的百分比即可求得C类的人数，然后求得C类中女生人数，同理求得D类男生的人数；

（3） 利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解.

解：（1） （6+4）÷50%=20. 所以李老师一共调查了20名学生.

（2） C类女生有3名，D类男生有1名；补充条形统计图.

（3） 由题意画树状图如下：

从树状图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

五、 结束语

统计、概率与现实生活密切联系，大家可以通过实践活动来学习数据处理的方法. 尽管现在的题型千变万化，其实万变不离其宗，我们要学会始终从基本概念出发，认真读题、认真审题，从题目中寻找我们要的信息，然后运用我们所学的知识就能巧妙地解决我们遇到的问题了！

（作者单位：江苏省常州市田家炳初级中学）