压缩映射原理在数列极限中的应用

李红英

摘 要： 压缩映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通过对考研中数列极限的典型例题的解析，归纳总结出适合压缩映射原理求极限数列的一般形式，展示压缩映射原理在解决递推数学列极限中的优越性.

关键词： 压缩映射原理 极限 递推数列

压缩映射原理是著名的波兰数学家Stefan Banach在1922年提出的，它是整个分析科学中最常用的存在性理论，应用非常广泛，如隐函数存在性定理、微分方程解的存在唯一性.这里我们主要研究压缩映射原理在数列极限中的应用.许多参考资料都讲过这个方面的应用，如文献[1-3].在前人的基础上，笔者结合自己的教学体会，系统归纳总结了压缩映射原理在一类递推数列极限中的应用，进一步展示其优越性.

1.基本概念和定理

为了结构的完整和叙述的方便，我们给出文献中的几个概念和定理.

定义1.1设（X，ρ）为一个度量空间，T是X到X的映射，若存在0<α<1，使得？坌x，y∈X，有ρ（Tx，Ty）≤αρ（x，y），则称T是X到X的一个压缩映射.

定理1.2（压缩映射原理）设（X，ρ）为一个完备的距离空间，T是X到X的一个压缩映射，则T在X上存在唯一的不动点，即存在唯一的x∈X，使得Tx=x.

事实上，这两个结果在一般的实数R上也成立，有如下结果.

2.应用

类型一：直接应用定理型

下面我们看一道竞赛试题.

由于压缩映射原理在许多教材中没有给出，但其实用性很强，因此在教学过程可以补充给出，让学有余力的学生自己查阅相关文献.这类题目常见于考研试题和竞赛试题，只要出现迭代数列形式，就可以尝试利用压缩映射原理来考虑，问题的关键是确定函数是否为压缩函数，同时一定要注意函数的定义域.我们可以把这类问题归结为如下形式.

类型二：先转化再应用型

这类问题中虽然没有明显的迭代条件，但可以先考虑通常的方法，如单调有界定理、柯西收敛逐准则及夹逼定理等，也可以尝试往压缩映射原理条件上去凑，或许有意外的收获.以上几个例子都是数列极限中常见的典型例题，但几乎所有的教学参考书籍都没有提及利用压缩映射原理解决该问题，事实上，利用该方法解决上述例题更简洁.数学分析中很多问题的解决都得益于把已知条件往解决方法原理的条件上“凑”，这种“凑”是一种技巧、策略，它是解决数学分析中问题的常见策略，初学者需要仔细体会.

数列极限的求解方法多种多样，每种方法都有其条件要求和适用范围，需要灵活运用.压缩映射原理也不例外，在应用是时一定要注意条件的验证，同时要注意其使用范围.

参考文献：

[1]徐新亚，夏海峰.数学分析选讲[M].上海：同济大学出版社，2008（8）：9-17.

[2]陈守信.数学分析选讲[M].北京：机械工业出版社，2009（9）：1-8.

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题和方法（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006（4）：32-60.

[4]张恭庆，林源渠.泛函分析讲义（上册）[M].北京：北京大学出版社，2006（12）：4-8.

基金项目：贵州省教育厅自然科学基金资助（黔教科2010086）。