基于量子力学表象变换理论构造新的小波函数族*

余海军

(淮南师范学院)

0 引言

小波变换是通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度的细化分析，具有对信号的自适应性［1-3］.小波变换联系着多个学科，如在应用数学、应用物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理与地震勘探等许多领域都有着广泛的应用［4］.

小波变换定义［1-2］为

式中μ＞0为膨胀参量，s∈R是平移参量.数学上，具有实参量x的小波ψ(x)满足下面的资格条件［5-7］

该式表明当|x|趋向于无穷大的时候，小波ψ(x)的值迅速衰减为零.

对于母小波所满足的这一资格条件(2)式，可以利用量子力学的表象变换理论给出其对应的Dirac符号表示下的一般条件式，然后基于该条件式去寻找一系列新的母小波，为构造更多的小波函数提供便利条件.

1 母小波的资格条件［5-7］

由坐标和动量表象之间满足的傅立叶变换关系［5-6］，即

上式表明用投影算符|p〉〈p|(p=0)来测量态矢|ψ〉时，其几率为零.由(4)式可知，在查找满足资格条件(2)式的母小波时，可以转变为寻找满足〈p=0|ψ〉=0条件的态矢|ψ〉的问题.已知在Fock表象中构成了Hilbert空间中一组正交归一的基，由此可以假设态矢|ψ〉在Fock表象下的展开形式为:

式中参量gn的选取，由态矢|ψ〉所满足的条件(4)式所决定.将态矢|ψ〉的该展开式，以及相干态表象的完备性关系式，代入(4)式，并利用内积关系式

(5)式便是基于量子力学的表象变换理论所推导出来的寻找母小波的一般条件式.由于在(5)式中只剩下了2n阶(偶次幂)的系数，所以自然排除了母小波是奇函数的情形.

例如选取“墨西哥帽"形式的母小波(如图1所示，它满足局域性条件.现在可以利用谐振子能量本征态的波函数

和厄米多项式的定义

图1 墨西哥帽小波函数图

2 寻找类“墨西哥帽”的高次幂形式的母小波

有了寻找母小波的一般条件式之后，可以利用该式来构造满足资格条件的一类母小波.下面来讨论两组实例.

当假设n＞2时g2n=0，由(5)式可知剩下的系数应满足:g0+g2+g4=0.当取g0=2，g2=-1，g4=1时，则母小波态矢|ψ〉为|ψ〉=(-2-a+2+a+4)|0〉，将它投影到坐标表象中，利用(6)式和(7)式，可以得到符合资格条件的母小波，如图2所示.

当假设n＞3时g2n=0，由(5)式可知剩下的系数应满足:g0+g2+3g4+15g6=0.当取g0=1，g2=2，g4=4，g6=-1 时，则母小波态矢|ψ〉则变成|ψ〉=(1+2a+2+4a+4-a+6)|0〉，将它投影到坐标表象中，利用(6)式和(7)式，可以得到符合资格条件的母小波，如图3所示.

图2 φ1(x)小波函数图

图3 φ2(x)小波函数图

3 构造新的Morlet小波函数

上节中的ψ1(x)和ψ2(x)就是基于母小波资格条件构造出来的类“墨西哥帽”的高次幂形式的小波函数.下面将在此基础上构造新的类“墨西哥帽”高次幂形式的Morlet小波函数簇.

3.1 新的实Morlet小波函数

由(8)(9)(10)式，分别乘以cosx后，可以得到新的实Morlet小波函数，分别为:

如图4所示.由图4可以清楚地看到，小波函数的局域性和收敛性得到了很好的保留，这大大扩展了实Morlet小波函数的范围.

3.2 新的复Morlet小波函数

由(8)、(9)、(10)式，分别乘以 eix后，可以得到新的复Morlet小波函数，分别为:

式中i是虚数单位.由于该新的复Morlet小波函数的实部与图4结构一直，下面只分析其虚部，如图5所示.由图5可以清楚地看到，不但小波函数的局域性和收敛性得到了很好的保留，而且虚部函数图象关于原点对称，这给工程应用带来很大的选择空间.

图4 新的实Morlet小波函数

图5 新的复Morlet小波函数的虚部

4 结束语

基于量子力学的表象变换理论，给出了母小波的资格条件，寻找到了高次幂形式的类“墨西哥帽”母小波函数，在此基础上构造出了新的Morlet小波函数族.该项工作大大扩展了小波函数的范围，给工程应用带来很大的选择空间.

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